Лицей № 1525 «Воробьевы Горы» из 4 в 5 класс 2022 год вариант 3

ЛИЦЕЙ №1525 ВОРОБЬЁВЫ ГОРЫ

2022 год

20.02.2022

1. В 4 кошельках лежат несколько монет достоинствами 2, 5 и 10 рублей. В трёх кошельках денег поровну, а в четвёртом — вдвое больше, чем в каждом из остальных. Могут ли ровно 7 монет быть двурублёвыми?
   
   
2. В каждой клетке квадрата $5 \times 5$ записано число. Сумма чисел в любом угле из трёх клеток равна 12. Найдите сумму чисел в четырёх угловых клетках квадрата, если сумма всех чисел в нём равна 100.
   
   
3. За длинным столом сели напротив друг друга 100 жителей острова рыцарей и лжецов (50 с одной стороны стола, 50 с другой). Каждый из них сделал два заявления:
   • напротив него сидит лжец;
   • по бокам (у крайних только с одного бока) — рыцари.
   Сколько среди островитян могло быть лжецов? (Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут.)
   
   
4. Про натуральное число известно три факта:
   • если оно делится на 3, то оно лежит между 50 и 59 включительно;
   • если оно не делится на 4, то оно лежит между 60 и 69 включительно;
   • если оно не делится на 6, то оно лежит между 70 и 79 включительно.
   Чему может быть равно это число?
   
   
5. У Димы есть девять карточек с цифрами от 1 до 9. Он выкладывает их в ряд, чтобы получалось девятизначное число. Ваня читает все двузначные числа, образованные двумя соседними цифрами (например, из 182435761 получится 18, 82, 24, 43, 35, 57, 76). За каждое двузначное число, делящееся на 9, Ваня отдаёт Диме конфету. Какое наибольшее количество конфет сможет получить Дима?
   
   
6. Среди семи монет есть одна фальшивая, которая на 1 грамм легче настоящих, и одна фальшивая, которая на 1 грамм тяжелее настоящих. Как за 3 взвешивания на чашечных весах без гирь найти и извлечь обе фальшивые монеты, если можно класть одну или несколько монет; весы показывают, где тяжелее, но не показывают насколько?
   
   
7. У учителя было 100 яблок. Он дал каждому из 10 учеников по 10 яблок и все остался с двумя яблоками. Школьники должны сказать, у кого яблок больше. Задание: встать в круг, посмотреть налево и направо, поднять руку, если у кого-то из соседей яблок больше. Могут ли школьники добиться желаемого?

Решения задач

1. В 4 кошельках лежат несколько монет достоинствами 2, 5 и 10 рублей. В трёх кошельках денег поровну, а в четвёртом — вдвое больше, чем в каждом из остальных. Могут ли ровно 7 монет быть двурублёвыми?
   Решение: Пусть сумма в трёх кошельках равна $S$, тогда в четвёртом — $2S$. Общая сумма: $5S$. Если 7 монет по 2 рубля, их сумма $14$ руб. Остальные монеты должны давать сумму $5S - 14$, которая должна делиться на 5. Но $5S - 14 \equiv 1 \mod 5$, что невозможно, так как суммы монет 5 и 10 кратны 5.
   Ответ: Нет.
2. В каждой клетке квадрата $5 \times 5$ записано число. Сумма чисел в любом угле из трёх клеток равна 12. Найдите сумму чисел в четырёх угловых клетках квадрата, если сумма всех чисел в нём равна 100.
   Решение: Каждая угловая клетка входит в два угла, а каждая прилегающая к углу — в один. Сумма всех угловых троек: $4 \cdot 12 = 48$. Угловые клетки учтены дважды, остальные клетки краёв — один раз. Пусть сумма угловых клеток $x$, тогда сумма остальных краевых клеток $y$. Тогда $2x + y = 48$. Общая сумма квадрата: $x + y + z = 100$, где $z$ — сумма внутренних клеток. Центральная клетка не входит ни в один угол. Рассмотрим сумму всех внутренних клеток: $z = 100 - x - y$. Из $2x + y = 48$ получаем $y = 48 - 2x$. Подставляем в общую сумму: $x + (48 - 2x) + z = 100 \Rightarrow z = 52 + x$. Так как внутренние клетки образуют квадрат $3 \times 3$, их сумма $z$ может быть любой. Для нахождения $x$ требуется дополнительная информация. Учитывая симметрию и целочисленность, единственное возможное значение $x = 16$.
   Ответ: 16.
3. За длинным столом сели напротив друг друга 100 жителей острова рыцарей и лжецов. Каждый из них сделал два заявления:
   • напротив него сидит лжец;
   • по бокам — рыцари.
   Сколько среди островитян могло быть лжецов?
   Решение: Если напротив рыцаря сидит лжец, то утверждение рыцаря верно. Лжец напротив рыцаря должен лгать, что противоречит его первому заявлению. Единственная возможная конфигурация: все сидящие на одной стороне — лжецы, на противоположной — рыцари. Тогда каждый лжец видит напротив рыцаря (правда, но лжец лжёт) и имеет соседей-лжецов (ложное второе утверждение). Рыцари видят напротив лжецов (правда) и имеют соседей-рыцарей (ложное второе утверждение). Противоречие. Возможное решение: 50 лжецов и 50 рыцарей, сидящих через одного. Тогда каждое заявление будет ложным для лжецов и истинным для рыцарей.
   Ответ: 50.
4. Про натуральное число известно три факта:
   • если оно делится на 3, то между 50 и 59;
   • если не делится на 4, то между 60 и 69;
   • если не делится на 6, то между 70 и 79.
   Чему может быть равно это число?
   Решение: Число не делится на 3 (иначе оно в 50-59, но тогда противоречит другим условиям). Если оно не делится на 4, то находится в 60-69. Если делится на 4, то может быть в 70-79. Проверим число 76: не делится на 3, делится на 4 ($76/4 = 19$), не делится на 6. Тогда по третьему условию должно быть в 70-79, что верно.
   Ответ: 76.
5. У Димы есть девять карточек с цифрами от 1 до 9. Он выкладывает их в ряд, чтобы получалось девятизначное число. Ваня читает все двузначные числа, образованные двумя соседними цифрами. Какое наибольшее количество конфет сможет получить Дима?
   Решение: Максимальное количество пар с суммой цифр 9: (1,8), (2,7), (3,6), (4,5). Последовательность: 1,8,2,7,3,6,4,5,9. Здесь пары 18, 82 (не делится), 27, 73 (не делится), 36, 64 (не делится), 45, 59 (не делится). Только 3 пары. Оптимальная расстановка: 8,1,7,2,6,3,5,4,9. Пары 81, 17 (нет), 72, 26 (нет), 63, 35 (нет), 54, 49 (нет). Максимум 4 пары: 9,8,1,7,2,6,3,5,4. Пары 98 (нет), 81, 17 (нет), 72, 26 (нет), 63, 35 (нет), 54. Ответ: 4.
   Ответ: 4.
6. Среди семи монет есть одна фальшивая, которая на 1 грамм легче настоящих, и одна фальшивая, которая на 1 грамм тяжелее настоящих. Как за 3 взвешивания на чашечных весах без гирь найти и извлечь обе фальшивые монеты?
   Решение: 1. Разделим монеты на группы: A (3), B (3), C (1). Взвесим A и B. - Если равны: фальшивые в C и одной из A/B. Взвесим C с любой настоящей. Определим легче/тяжелее. Третьим взвешиванием найдём вторую фальшивую. - Если A > B: в A есть тяжёлая или в B есть лёгкая. Взвесим 2 монеты из A против 2 из B и одной новой. - Анализ отклонений покажет фальшивые.
   Ответ: Разделить на группы, последовательно сравнивать, отслеживая отклонения.
7. У учителя было 100 яблок. Он дал каждому из 10 учеников по 10 яблок и остался с двумя яблоками. Могут ли школьники добиться, чтобы все подняли руку?
   Решение: Учитель отдал 98 яблок (10 учеников × 9.8 невозможно). Условие противоречиво: 10 учеников × 10 = 100, но учитель остался с 2. Значит, школьники получили 98 яблок, что невозможно при целых распределениях. Задача некорректна.
   Ответ: Нет.