Лицей № 1525 «Воробьевы Горы» из 4 в 5 класс 2022 год вариант 2

ЛИЦЕЙ №1525 ВОРОБЬЁВЫ ГОРЫ

2022 год

20.02.2022

1. За пять дней до завтра, которое наступит для послезавтра, было пару дней после понедельника. А какой день сегодня?
2. Вася разбросал по квартире три пары носков: два носка валяются под столом, 4 под кроватью, 4 на коврике, 3 под псом Бобиком и один медленно жует тот самый Бобик. Как такое могло произойти?
3. У некоторых трёхзначных чисел (например 743, 541, 936) сумма последних двух цифр равна первой. Найдите пятнадцатое такое число.
4. Витя зашёл в канцелярский магазин, чтобы купить тетради и ручки. Первое что он заметил, это то, что каждая тетрадка стоит как 4 ручки! А потом он начал считать свои деньги: если он захочет купить 12 тетрадей и 5 ручек, то у него не хватит 37 рублей, а если возьмёт 12 ручек и 7 тетрадей, то ещё останется 28 рублей. Сколько денег у Вити?
5. Вероника решила сделать из имеющихся у неё бусинок себе браслет, но она очень придирчива и нанизывает на нитку только те бусины, которые, по её мнению, сочетаются по цвету. Для того, чтобы определиться, каков же будет браслет, она нарисовала схему, где соединила цвета бусин, которые сочетаются друг с другом. Помогите Веронике подобрать цвета бусин, если они должны все сочетаться между собой (не только с соседями!) и цветов должно быть как можно больше.
   
6. Вони, стоял на перекрёстке и размышлял про дороги, идущие до замка. По самой прямой и короткой дороге было бы идти хорошо, если бы не бурная река, которую надо перейти, из-за чего придётся потратить времени раз в 5 больше, чем было бы нужно, если бы реки не было. По второй дороге всё привлекательно, кроме одного: она в три раза длиннее дороги через реку, однако там в середине есть тряпка, в котором даже если очень быстро перескочить, скорость падает в семь и еле идёшь медленнее раза в два. А дорога направо, наоборот, всё очень прилично, но дорога в два раза длиннее первой дороги через реку и первую её половину идёт нормальная дорога, но потом начинаются горы, в которых нужно спешиться и это уменьшает скорость раза в 3 раза. По какой же дороге пойти Вони, если он всё-таки хочет попасть в замок побыстрее?
7. Разбейте треугольник на 6 пятиугольников так, чтобы ровно одна сторона каждого пятиугольника была стороной исходного треугольника.
8. Если Вовочка даст в придачу сестрёнке Мише свой кусочек торта за 4 минуты. Если же этот торт даст его младшей сестре Маше, то она будет есть этот кусочек 6 минут. А их старший брат Андрей сможет справиться с этим кусочком за 2 минуты. Проводя эксперимент, кто забыл забрать писк мяса у продавца, все съели кусочек и ушли вместе домой. Успеет ли дети съесть кусочек, если один кусочек съедается ровно за минуту на то, чтобы сходить за покупкой?

Решения задач

1. За пять дней до завтра, которое наступит для послезавтра, было пару дней после понедельника. А какой день сегодня?
   Решение: Рассмотрим временную цепочку:
   "Послезавтра" → через 2 дня от сегодня.
   "Завтра" для этого послезавтра → ещё +1 день (всего через 3 дня от сегодня).
   "Пять дней до" этого момента → сегодняшний день: 3 - 5 = -2 дня назад.
   Это означает, что событие было "два дня назад". По условию это было "пару дней после понедельника" → вторник или среда.
   Если "два дня назад" было вторником → сегодня четверг.
   Если "два дня назад" было средой → сегодня пятница.
   Но "пару дней" обычно означает 2 дня, значит "два дня после понедельника" = среда. Следовательно, сегодня пятница.
   Ответ: Пятница.
   
   
2. Вася разбросал по квартире три пары носков: два носка валяются под столом, 4 под кроватью, 4 на коврике, 3 под псом Бобиком и один медленно жует тот самый Бобик. Как такое могло произойти?
   Решение: Три пары носков = 6 штук. Суммируем указанные количества: 2 + 4 + 4 + 3 + 1 = 14 носков. Это возможно, если "Бобик" — не только собака, но и имя человека. Тогда "под псом Бобиком" — 3 носка под человеком по имени Бобик, а "жует Бобик" — собака жуёт 1 носок. Всего 3 (человек) + 1 (собака) = 4 носка, что вместе с остальными даёт 2 + 4 + 4 + 4 = 14.
   Ответ: Бобик — имя человека и собаки одновременно.
   
   
3. У некоторых трёхзначных чисел (например 743, 541, 936) сумма последних двух цифр равна первой. Найдите пятнадцатое такое число.
   Решение: Упорядочим числа по возрастанию:
   100 (1+0+0=1≠1? Нет), 101 (1+0+1=2≠1), 110 (1+1+0=2≠1), 111 (1+1+1=3≠1) → не подходят.
   Для первой цифры 1: сумма двух последних должна быть 1 → 100, 101, 110, 011 (не трёхзначное). Только 100 не подходит, остальные нет. Значит, нет чисел с первой цифрой 1.
   Для первой цифры 2: сумма двух последних = 2 → 200 (2+0+0=2), 201 (2+0+1=3≠2), 210 (2+1+0=3≠2), 120 (1+2+0=3≠2), 111 (1+1+1=3≠2), 102 (1+0+2=3≠2) → только 200.
   Продолжая аналогично, составляем список: 200, 310, 321, 330, 402, 411, 420, 512, 521, 530, 602, 611, 620, 712, 721...
   15-е число: 712.
   Ответ: 712.
   
   
4. Витя зашёл в канцелярский магазин, чтобы купить тетради и ручки. Первое что он заметил, это то, что каждая тетрадка стоит как 4 ручки! А потом он начал считать свои деньги: если он захочет купить 12 тетрадей и 5 ручек, то у него не хватит 37 рублей, а если возьмёт 12 ручек и 7 тетрадей, то ещё останется 28 рублей. Сколько денег у Вити?
   Решение: Пусть цена ручки — x руб., тогда тетрадь — 4x руб. Обозначим сумму денег у Вити как S.
   Из условий:
   12·4x + 5x = S + 37 → 53x = S + 37
   7·4x + 12x = S - 28 → 40x = S - 28
   Решаем систему:
   53x - 37 = 40x + 28 → 13x = 65 → x = 5 руб.
   Тогда S = 40·5 + 28 = 228 руб.
   Ответ: 228 рублей.
   
   
5. Вероника решила сделать из имеющихся у неё бусинок себе браслет, но она очень придирчива и нанизывает на нитку только те бусины, которые, по её мнению, сочетаются по цвету. Для того, чтобы определиться, каков же будет браслет, она нарисовала схему, где соединила цвета бусин, которые сочетаются друг с другом. Помогите Веронике подобрать цвета бусин, если они должны все сочетаться между собой (не только с соседями!) и цветов должно быть как можно больше.
   
   Решение: Максимальная клика в графе: красный, оранжевый, жёлтый, зелёный (все соединены между собой).
   Ответ: Красный, оранжевый, жёлтый, зелёный.
   
   
6. Вони, стоял на перекрёстке и размышлял про дороги, идущие до замка. По самой прямой и короткой дороге было бы идти хорошо, если бы не бурная река, которую надо перейти, из-за чего придётся потратить времени раз в 5 больше, чем было бы нужно, если бы реки не было. По второй дороге всё привлекательно, кроме одного: она в три раза длиннее дороги через реку, однако там в середине есть тряпка, в котором даже если очень быстро перескочить, скорость падает в семь и еле идёшь медленнее раза в два. А дорога направо, наоборот, всё очень прилично, но дорога в два раза длиннее первой дороги через реку и первую её половину идёт нормальная дорога, но потом начинаются горы, в которых нужно спешиться и это уменьшает скорость раза в 3 раза. По какой же дороге пойти Вони, если он всё-таки хочет попасть в замок побыстрее?
   Решение: Рассчитаем время для каждой дороги:
   1. Первая дорога: время = 5t (t — время без реки).
   2. Вторая дорога: длина 3L, скорость на трясине v/7, остальное — v. Средняя скорость: (часть пути до трясины + трясина + после). Упрощённо: время ≈ 3L/(v/2) = 6L/v = 6t (если L = vt).
   3. Третья дорога: длина 2L. Первая половина: L со скоростью v → время L/v = t. Вторая половина: L со скоростью v/3 → время 3t. Общее время: t + 3t = 4t.
   Ответ: Третья дорога (4t быстрее первой и второй).
   
   
7. Разбейте треугольник на 6 пятиугольников так, чтобы ровно одна сторона каждого пятиугольника была стороной исходного треугольника.
   Решение: Проведём из центра треугольника 3 отрезка к серединам сторон. Затем разделим каждую из 6 образовавшихся частей на пятиугольники, используя дополнительные линии внутри. Каждый пятиугольник будет иметь одну сторону исходного треугольника.
   Ответ:
   
   
8. Если Вовочка даст в придачу сестрёнке Мише свой кусочек торта за 4 минуты. Если же этот торт даст его младшей сестре Маше, то она будет есть этот кусочек 6 минут. А их старший брат Андрей сможет справиться с этим кусочком за 2 минуты. Проводя эксперимент, кто забыл забрать писк мяса у продавца, все съели кусочек и ушли вместе домой. Успеет ли дети съесть кусочек, если один кусочек съедается ровно за минуту на то, чтобы сходить за покупкой?
   Решение: Совместная скорость поедания: 1/4 + 1/6 + 1/2 = (3 + 2 + 6)/12 = 11/12 кусочка/минуту. Время на 1 кусочек: 1 / (11/12) ≈ 1,09 минуты. При условии "ровно за минуту" — не успеют.
   Ответ: Нет, не успеют.