Лицей № 1525 «Воробьевы Горы» из 4 в 5 класс 2022 год вариант 2
Печать
youit.school ©
ЛИЦЕЙ №1525 ВОРОБЬЁВЫ ГОРЫ
2022 год
16.06.2022
- Есть 4 одинаковых по виду гири с различным весом. Как за 6 взвешиваний расположить их в порядке возрастания веса?
- Лошадь съедает сто сена за 2 дня, корова — за 3, овца — за 6. За сколько дней они съедят сто, если будут есть его вместе?
- \( 2 + a \) и \( 35 - b \) делятся на 11. Докажите, что \( a + b \) делится на 11.
- В 1 стакане 20% молока, а остальное — вода, в другом же стакане 30% молока, а остальное — вода. Сколько процентов молока будет в кастрюле, если в нее вылить оба этих стакана?
- В мешке лежат золотые монеты — дублоны, дукаты и пиастры, одинаковые на ощупь. Если из мешка вынуть 10 монет, то среди них обязательно окажется хотя бы один дублон; если вынуть 9 монет, то среди них обязательно окажется хотя бы один дукат; если вынуть 8 монет, то среди них обязательно окажется хотя бы один пиастр. Какое наибольшее количество монет могло быть в мешке?
- Двенадцать кандидатов в мэры рассказывали о себе. Через некоторое время один сказал: «До сих пор соврали всего один раз». Второй сказал: «А теперь дважды». «А теперь трижды» — сказал третий, и так далее до двенадцатого, который сказал: «А теперь соврали двенадцать раз». Тут ведущий прервал дискуссию и сказал: «А теперь соврали двенадцать раз!» Оказалось, что по крайней мере один кандидат правильно посчитал, сколько раз соврали до него. Так сколько же раз всего соврали кандидаты?
- Дядя приехал навестить своих двух племянников и трёх племянниц, которых давно не видел.
Первыми вышли к нему маленький Володя с сестрёнкой Женей, и мальчуган радостно сообщил, что он в два раза старше своей сестры. Затем выбежала Надя, и отец сказал гостю, что обе девочки вместе вдвое старше мальчика.
Потом вышел и их младший Алёша, отец объявил, что оба мальчика вместе вдвое старше обеих девочек вместе.
Позднее всех пришла Лида и, увидя гостя, радостно воскликнула: «Дядя, вы приехали как раз в день моего рождения. Мне сегодня исполнилось 24 года.»
— И знаете ещё что, — прибавил отец, — а сейчас сообразим, что мои три дочери вместе вдвое старше обоих моих сыновей.
Сколько лет было каждому сыну и каждой дочери?
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Есть 4 одинаковых по виду гири с различным весом. Как за 6 взвешиваний расположить их в порядке возрастания веса?
Решение: Обозначим гири как A, B, C, D.
1. Сравним A и B. Пусть A < B.
2. Сравним C и D. Пусть C < D.
3. Сравним A и C. Пусть A < C.
4. Сравним B и C. Если B < C, то порядок: A < B < C C, сравниваем B и D (шаг 5). Если B < D, порядок: A < C < B D, порядок: A < C < D < B.
В зависимости от результатов промежуточных взвешиваний, дополнительные сравнения позволяют уточнить позиции. Всего требуется 6 взвешиваний для всех возможных комбинаций.
Ответ: За 6 взвешиваний можно определить порядок, последовательно сравнивая и упорядочивая гири.
- Лошадь съедает сто сена за 2 дня, корова — за 3, овца — за 6. За сколько дней они съедят сто, если будут есть его вместе?
Решение: Найдем скорости поедания:
Лошадь: $\frac{100}{2} = 50$ кг/день
Корова: $\frac{100}{3} \approx 33,\!33$ кг/день
Овца: $\frac{100}{6} \approx 16,\!67$ кг/день
Совместная скорость: $50 + 33,\!33 + 16,\!67 = 100$ кг/день
Время: $\frac{100}{100} = 1$ день.
Ответ: 1 день.
- \( 2 + a \) и \( 35 - b \) делятся на 11. Докажите, что \( a + b \) делится на 11.
Решение:
\(2 + a \equiv 0 \pmod{11} \Rightarrow a \equiv -2 \pmod{11}\)
\(35 - b \equiv 0 \pmod{11} \Rightarrow b \equiv 35 \pmod{11} \Rightarrow b \equiv 2 \pmod{11}\)
Тогда \(a + b \equiv (-2) + 2 \equiv 0 \pmod{11}\).
Ответ: \(a + b\) делится на 11.
- В 1 стакане 20% молока, а остальное — вода, в другом же стакане 30% молока, а остальное — вода. Сколько процентов молока будет в кастрюле, если в нее вылить оба этих стакана?
Решение: Пусть объем каждого стакана \(V\). Тогда молока:
Первый стакан: \(0,\!2V\)
Второй стакан: \(0,\!3V\)
Общий объем молока: \(0,\!5V\)
Общий объем жидкости: \(2V\)
Концентрация: \(\frac{0,\!5V}{2V} \cdot 100% = 25\%\)
Ответ: $25\%$.
- В мешке лежат золотые монеты — дублоны, дукаты и пиастры, одинаковые на ощупь. Если из мешка вынуть 10 монет, то среди них обязательно окажется хотя бы один дублон; если вынуть 9 монет, то среди них обязательно окажется хотя бы один дукат; если вынуть 8 монет, то среди них обязательно окажется хотя бы один пиастр. Какое наибольшее количество монет могло быть в мешке?
Решение: Максимальное количество монет без дублона: 9 (дукаты + пиастры). Значит, дублонов \(\geq 10\). Аналогично:
Дукатов \(\geq 10 - 8 = 2\) (при 8 пиастрах)
Пиастров \(\geq 9 - 7 = 2\) (при 7 дукатах)
Максимальное количество: \(9\) (дукаты) + \(8\) (пиастры) + \(7\) (дублоны) = 24.
Ответ: 24.
- Двенадцать кандидатов в мэры рассказывали о себе. Через некоторое время один сказал: «До сих пор соврали всего один раз». Второй сказал: «А теперь дважды». «А теперь трижды» — сказал третий, и так далее до двенадцатого, который сказал: «А теперь соврали двенадцать раз». Тут ведущий прервал дискуссию и сказал: «А теперь соврали двенадцать раз!» Оказалось, что по крайней мере один кандидат правильно посчитал, сколько раз соврали до него. Так сколько же раз всего соврали кандидаты?
Решение: Если k-й кандидат сказал правду, то до него соврали k раз. После него соврали \(12 - k\) раз. Общее количество лжи: \(k + (12 - k) = 12\). Ведущий подтвердил, что всего соврали 12 раз. Значит, верно \(k = 12\) (последний кандидат прав).
Ответ: 12.
- Дядя приехал навестить своих двух племянников и трёх племянниц, которых давно не видел.
Решение: Пусть возраст Жени \(x\). Тогда:
Володя: \(2x\)
Надя: \(3x\) (так как Надя + Женя = \(4x\))
Алёша: \(6x\) (так как Алёша + Володя = \(8x\))
Лиде 24 года. Сумма возрастов дочерей: \(x + 3x + 24 = 4x + 24\). Сумма сыновей: \(2x + 6x = 8x\). Условие: \(4x + 24 = 2 \cdot 8x \Rightarrow x = 2\).
Возраста: Женя — 2, Володя — 4, Надя — 6, Алёша — 12, Лида — 24.
Ответ: Женя — 2, Володя — 4, Надя — 6, Алёша — 12, Лида — 24.
Материалы школы Юайти