8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей № 1525 «Воробьевы Горы» из 4 в 5 класс 2022 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 06.2022
Печать
youit.school ©

ЛИЦЕЙ №1525 ВОРОБЬЁВЫ ГОРЫ


2022 год


16.06.2022



  1. На столе яблок на 5 меньше, чем яблок и груш вместе, а груш на 9 меньше, чем яблок и груш вместе. Сколько фруктов на столе? Сколько яблок? А груш?

  2. В день рождения дяди Фёдора почтальон Печкин хочет выяснить, сколько тому лет. Шарик говорит, что дяде Фёдору больше 11 лет, а кот Матроскин утверждает, что больше 10 лет. Сколько лет дяде Фёдору, если известно, что ровно один из них ошибся?

  3. Одну сторону прямоугольника уменьшили на 100 см, а другую увеличили на 1 см. Может ли площадь прямоугольника увеличиться?

  4. Есть 4 одинаковых по виду гири с различным весом. Как за 6 взвешиваний расположить их в порядке возрастания веса?

  5. На доске написано 10 плюсов и 15 минусов. Разрешается стереть любые два знака и написать вместо них один: плюс, если они одинаковые, и минус в противном случае. Какой знак останется на доске после выполнения 24 таких операций?

  6. На сколько частей можно разрезать блинчик тремя прямолинейными разрезами от края до края?

  7. В мешке лежат золотые монеты — дублоны, дукаты и пиастры, одинаковые на ощупь. Если из мешка вынуть 10 монет, то среди них обязательно окажется хотя бы один дублон; если вынуть 9 монет, то среди них обязательно окажется хотя бы один дукат; если вынуть 8 монет, то среди них обязательно окажется хотя бы один пиастр. Какое наибольшее количество монет могло быть в мешке?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. На столе яблок на 5 меньше, чем яблок и груш вместе, а груш на 9 меньше, чем яблок и груш вместе. Сколько фруктов на столе? Сколько яблок? А груш?
    Решение: Пусть общее количество фруктов равно $N$. Тогда:
    Яблок: $N - 5$ (на 5 меньше общего количества)
    Груш: $N - 9$ (на 9 меньше общего количества)
    Сумма: $(N - 5) + (N - 9) = N$
    $2N - 14 = N \Rightarrow N = 14$
    Яблок: $14 - 5 = 9$, груш: $14 - 9 = 5$
    Ответ: 14 фруктов (9 яблок, 5 груш).

  2. В день рождения дяди Фёдора почтальон Печкин хочет выяснить, сколько тому лет. Шарик говорит, что дяде Фёдору больше 11 лет, а кот Матроскин утверждает, что больше 10 лет. Сколько лет дяде Фёдору, если известно, что ровно один из них ошибся?
    Решение: Если дяде 11 лет:
    Шарик: ">11" — ложь, Матроскин: ">10" — истина. Ровно одна ошибка.
    Если дяде 10 лет: оба ошибаются. Если 12 лет: оба правы.
    Ответ: 11 лет.

  3. Одну сторону прямоугольника уменьшили на 100 см, а другую увеличили на 1 см. Может ли площадь прямоугольника увеличиться?
    Решение: Пусть исходные стороны $a$ и $b$. Площадь до: $ab$, после: $(a-100)(b+1)$. Разница:
    $(a-100)(b+1) - ab = a - 100b - 100$
    Пример: $a = 201$ см, $b = 1$ см. Исходная площадь: $201 \cdot 1 = 201$ см². Новая: $(201-100)(1+1) = 101 \cdot 2 = 202$ см².
    Ответ: Да, может.

  4. Есть 4 одинаковых по виду гири с различным весом. Как за 6 взвешиваний расположить их в порядке возрастания веса?
    Решение:
    1. Взвесить A vs B → определяем тяжелее (A > B)
    2. Взвесить C vs D → определяем тяжелее (C > D)
    3. Взвесить A vs C → находим самую тяжелую гирю
    4. Взвесить B vs C (если A > C) или B vs D (если C > A) → определяем вторую позицию
    5. Взвесить оставшиеся для определения порядка
    Ответ: 6 взвешиваний достаточно для полной сортировки.

  5. На доске написано 10 плюсов и 15 минусов. Разрешается стереть любые два знака и написать вместо них один: плюс, если они одинаковые, и минус в противном случае. Какой знак останется на доске после выполнения 24 таких операций?
    Решение: Изначально 15 минусов (нечётное количество). Каждая операция сохраняет чётность количества минусов:
    - Два одинаковых: минус → чётность не меняется (+0 или -2)
    - Разные: минус → чётность сохраняется (+1 -1 = 0)
    После 24 операций останется 1 знак. Так как исходно нечётное число минусов, итоговый знак — минус.
    Ответ: Минус.

  6. На сколько частей можно разрезать блинчик тремя прямолинейными разрезами от края до края?
    Решение: Максимальное число областей для трёх прямых: $\frac{n(n+1)}{2} + 1 = \frac{3 \cdot 4}{2} + 1 = 7$.
    Ответ: 7 частей.

  7. В мешке лежат золотые монеты — дублоны, дукаты и пиастры, одинаковые на ощупь. Если из мешка вынуть 10 монет, то среди них обязательно окажется хотя бы один дублон; если вынуть 9 монет, то среди них обязательно окажется хотя бы один дукат; если вынуть 8 монет, то среди них обязательно окажется хотя бы один пиастр. Какое наибольшее количество монет могло быть в мешке?
    Решение: По принципу Дирихле:
    Максимум пиастров: 7 (иначе 8 монет могут быть без пиастра)
    Максимум дукатов: 8 (иначе 9 монет могут быть без дуката)
    Максимум дублонов: 9 (иначе 10 монет могут быть без дублона)
    Всего: $9 + 8 + 7 = 24$ монеты.
    Ответ: 24 монеты.
Материалы школы Юайти