8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей № 1525 «Воробьевы Горы» из 4 в 5 класс 2021 год вариант 3

Сложность:
Дата экзамена: 03.2021
СкачатьПечать
youit.school ©

ЛИЦЕЙ №1525 ВОРОБЬЁВЫ ГОРЫ


2021 год


09.03.2021



Вариант 3

  1. Петя задумал цифру, умножил её на три, потом вычел из получившегося один, потом результат разделил на пять, потом он забыл: то ли умножил, то ли разделил на 2 и получил 8. Какую цифру он загадал?

  2. Ване и его пятерым братьям 3, 5, 7, 9, 11 и 13 лет. Как-то днём двое его братьев, которым в сумме 16, пошли в кино; двое, каждый из которых младше 10, пошли играть в футбол, а Ваня и его 5-летний брат остались дома. Сколько лет Ване?

  3. Есть два больших ящика. Один ящик размером \(26 \times 93 \times 35\), а второй — размером \(143 \times 527 \times 95\). На производстве хотят выбрать размеры для упаковки с сахаром так, чтобы ими можно было заполнить оба ящика и кубиков сахара в упаковке было как можно больше. Сколько кубиков сахара поместится в такой упаковке, если размер одного кубика — \(1 \times 1 \times 1\)?

  4. Можно ли в таблице \(3 \times 3\) расставить различные натуральные четырёхзначные числа так, чтобы сумма любых двух соседей делилась на 2021?

  5. Если С · А · П · С · А · Н = П · Е · Т · Е · Р · Б · У · Р · Г, то чему равно П · Р · А · Г · А? (В ребусе одинаковые цифры заменены одинаковыми буквами.)

  6. Лошадь, заяц и черепаха одновременно вышли к водоёму. Им всем нужно было пройти по 1 километру. Когда лошадь доскакала до воды, зайцу оставалось бежать ещё 100 метров. Когда же заяц добежал, то черепахе оставалось идти ещё 300 метров. Сколько метров оставалось идти черепахе, когда лошадь дошла до водоёма?

  7. Можно ли разрезать куб на 38 кубиков (не обязательно равных между собой)?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Петя задумал цифру, умножил её на три, потом вычел из получившегося один, потом результат разделил на пять, потом он забыл: то ли умножил, то ли разделил на 2 и получил 8. Какую цифру он загадал?
    Решение: Рассмотрим оба варианта последнего действия:
    Вариант 1: После деления на 5 результат умножили на 2:
    $\left(\frac{3x - 1}{5}\right) \cdot 2 = 8 \quad \Rightarrow \quad \frac{3x - 1}{5} = 4 \quad \Rightarrow \quad 3x = 21 \quad \Rightarrow \quad x = 7$
    Вариант 2: После деления на 5 результат разделили на 2:
    $\frac{3x - 1}{5 \cdot 2} = 8 \quad \Rightarrow \quad 3x - 1 = 80 \quad \Rightarrow \quad 3x = 81 \quad \Rightarrow \quad x = 27$ (не подходит, так как x — цифра)
    Ответ: 7.

  2. Ване и его пятерым братьям 3, 5, 7, 9, 11 и 13 лет. Как-то днём двое его братьев, которым в сумме 16, пошли в кино; двое, каждый из которых младше 10, пошли играть в футбол, а Ваня и его 5-летний брат остались дома. Сколько лет Ване?
    Решение: Пары братьев с суммой 16: (3,13), (5,11), (7,9). Если в кино ушли 3 и 13, остаются 5,7,9,11. Футболисты — 7 и 9 (оба <10). Тогда дома остаются 5 и 11. По условию дома остались Ваня и 5-летний брат. Значит, Ване 11 лет.
    Ответ: 11.

  3. Есть два больших ящика. Один ящик размером \(26 \times 93 \times 35\), а второй — размером \(143 \times 527 \times 95\). На производстве хотят выбрать размеры для упаковки с сахаром так, чтобы ими можно было заполнить оба ящика и кубиков сахара в упаковке было как можно больше. Сколько кубиков сахара поместится в такой упаковке, если размер одного кубика — \(1 \times 1 \times 1\)?
    Решение: Найдём НОД всех измерений:
    НОД(26,143) = 13, НОД(93,527) = 31, НОД(35,95) = 5. Общий НОД(13,31,5) = 1.
    Ответ: 1.

  4. Можно ли в таблице \(3 \times 3\) расставить различные натуральные четырёхзначные числа так, чтобы сумма любых двух соседей делилась на 2021?
    Решение: Минимальная сумма двух четырёхзначных чисел: 1000 + 1001 = 2001 < 2021. Следующая возможная сумма: 4042. Для этого числа должны быть парными (4042 - x), но в таблице 3×3 (9 чисел) это невозможно из-за нечётного количества.
    Ответ: Нельзя.

  5. Если \texttt{С · А · П · С · А · Н = П · Е · Т · Е · Р · Б · У · Р · Г}, то чему равно \texttt{П · Р · А · Г · А}? (В ребусе одинаковые цифры заменены одинаковыми буквами.)
    Решение: Анализ возможных значений показывает, что П = 1, Р = 2, А = 5, Г = 4. Тогда:
    \(1 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 5 = 200\)
    Ответ: 200.

  6. Лошадь, заяц и черепаха одновременно вышли к водоёму. Им всем нужно было пройти по 1 километру. Когда лошадь доскакала до воды, зайцу оставалось бежать ещё 100 метров. Когда же заяц добежал, то черепахе оставалось идти ещё 300 метров. Сколько метров оставалось идти черепахе, когда лошадь дошла до водоёма?
    Решение: Скорости:
    Лошадь: \(v_л = \frac{1000}{t}\), Заяц: \(v_з = \frac{900}{t}\), Черепаха: \(v_ч = \frac{700}{\frac{10t}{9}} = \frac{630}{t}\).
    За время \(t\) черепаха прошла \(630\) м, осталось \(1000 - 630 = 370\) м.
    Ответ: 370.

  7. Можно ли разрезать куб на 38 кубиков (не обязательно равных между собой)?
    Решение: Классическое разрезание куба требует количества кубиков вида \(n^3 + 7k\). Число 38 не представимо в такой форме, так как \(38 - 1 = 37\) не делится на 7.
    Ответ: Нельзя.
Материалы школы Юайти