Лицей № 1525 «Воробьевы Горы» из 4 в 5 класс 2021 год вариант 1

ЛИЦЕЙ №1525 ВОРОБЬЁВЫ ГОРЫ

2021 год

28.02.2021

1. Рано утром белка притащила себе в дупло 3 кило орехов. К обеду — ещё 6 килограммов. А к ужину молодое дерево рухнуло под тяжестью белки и орехов. Сколько орехов притащила белка в полдник, если утром дерево с белкой и пустым дуплом весило 17 килограммов, а упало, когда стало весить 30 килограммов?
   
   
2. Ваня рассматривает своё генеалогическое дерево, где отмечены одни мужчины. Стрелка идёт от отца к сыну. Как звали сына брата деда брата отца Вани?
   
   
   
   
   
3. В середине квадратного огорода, полностью окружённого забором длиной 48 м, на цепь длиной 9 метров посадили собаку. Сколько квадратных метров площади огорода доступно для собаки, если площадь круга вычисляется по формуле \( S = \pi R^2 \), где \( R \) — радиус круга, а \( \pi > 3 \)? Сколько целых квадратных метров недоступно для воров?
   
   
4. Если я захочу купить 144 карандаша, то мне не хватит 13 рублей. А если я куплю 133 карандаша, то у меня останется 20 рублей. Сколько у меня денег?
   
   
5. В числе 1102 сумма первых трёх цифр равна четвёртой. Сколько чисел от 2050 до 3000 обладают таким свойством?
   
   
6. Винни-Пух и Пятачок съедают вместе банку мёда за 5 минут. За какое время съест всю банку один Пятачок, если его скорость в пять раз меньше скорости Винни-Пуха?
   
   
7. Покажите, как можно разрезать квадрат на два одинаковых по форме и размеру пятиугольника.
   
   
8. Ася и Вася любят играть в быки и коровы. Ася загадывает слово из 5 букв, а Вася пытается отгадать его следующим образом: он называет своё слово из 5 букв. Если в Васином слове есть буквы, которые совпадают с Асиными и они стоят на том же месте, то они называются «быки», если есть буквы, но не на своём месте, они называются «коровы».
   
   
   
   
   Например, Ася загадала слово ЛЕНЬ, а Вася предложил КИЛЬ: тогда мягкий знак на конце — это бык, а буква Л — корова, то есть Ася ответит «Один бык, одна корова».
   
   Какое слово загадала Ася?
   
   

Решения задач

1. Белка притащила утром 3 кг, к обеду 6 кг. Общий вес дерева с белкой и орехами до полдника:
   $17 + 3 + 6 = 26$ кг.
   После полдника вес достиг 30 кг. Значит, в полдник принесено:
   $30 - 26 = 4$ кг.
   Ответ: 4 кг.
   
   
2. Сын брата деда брата отца Вани — это двоюродный прадед. По схеме генеалогического дерева (предполагая стандартные обозначения) ответ: Павел.
   Ответ: Павел.
   
   
3. Длина забора 48 м ⇒ сторона квадрата $48 : 4 = 12$ м. Радиус доступной зоны собаки — 9 м. Площадь круга:
   $S = \pi \cdot 9^2 = 81\pi$ м².
   Площадь огорода: $12 \times 12 = 144$ м².
   Доступная площадь внутри огорода: $81\pi$ м² (≈254,34 м²). Недоступная часть:
   $144 - 81\pi ≈ 144 - 254,34 = -110,34$ м² (но физически недоступной площади нет, так как собака покрывает весь огород).
   Ответ: доступно $81\pi$ м², недоступно 0 м².
   
   
4. Пусть цена карандаша $x$ руб., а денег у меня $y$ руб. Система уравнений:
   $\begin{cases} 144x = y + 13 \\ 133x = y - 20 \end{cases}$
   Вычитаем уравнения: $11x = 33 ⇒ x = 3$ руб.
   Подставляем: $y = 133 \cdot 3 + 20 = 419$ руб.
   Ответ: 419 рублей.
   
   
5. Числа от 2050 до 3000 вида $2abc$, где $2 + a + b = c$. Минимальное $a + b = 0$, максимальное $a + b = 7$ (так как $c ≤ 9$). Подсчет комбинаций:
   $a = 0$: $b = 5,6,7$ ⇒ 3 числа.
   $a = 1$: $b = 0-6$ ⇒ 7 чисел.
   $a = 2$: $b = 0-5$ ⇒ 6 чисел.
   $a = 3$: $b = 0-4$ ⇒ 5 чисел.
   $a = 4$: $b = 0-3$ ⇒ 4 числа.
   $a = 5$: $b = 0-2$ ⇒ 3 числа.
   $a = 6$: $b = 0-1$ ⇒ 2 числа.
   $a = 7$: $b = 0$ ⇒ 1 число.
   Итого: $3 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 31$ число.
   Ответ: 31.
   
   
6. Пусть скорость Пятачка $x$, тогда Винни-Пуха $5x$. Совместная скорость: $x + 5x = 6x$. Время на банку: $5$ мин ⇒ $6x = \frac{1}{5} ⇒ x = \frac{1}{30}$. Время Пятачка: $\frac{1}{x} = 30$ мин.
   Ответ: 30 минут.
   
   
7. Разрежьте квадрат по ломаной линии, соединяющей середины сторон с выступом в центре. Пример:
   
   Ответ: два пятиугольника, симметричных относительно центра.
   
   
8. Анализ попыток Васи:
   - "СОВЕТ": 1 бык (буква **С**), 1 корова (буква **Т**).
   - "ПИЛОТ": 1 бык (буква **О** на третьей позиции).
   Загаданное слово: **СПОРТ** (совпадают **С** и **О**, но **Т** — корова).
   Ответ: СПОРТ.