8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей № 1525 «Воробьевы Горы» из 4 в 5 класс 2021 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 03.2021
Печать
youit.school ©

ЛИЦЕЙ №1525 ВОРОБЬЁВЫ ГОРЫ


2021 год


23.03.2021



  1. Львёнок решил покататься на большой черепахе, но сначала ему нужно её догнать. Какое расстояние придётся пробежать львёнку прежде, чем он сможет покататься, если его скорость в 10 раз больше скорости черепахи, а черепаха находится в 180 метрах от львёнка?

  2. Дети узнали, что их учительница что-то прячет у себя в столе. Федя сказал: «Там есть бутылка Кока-Колы.» Коля сказал: «Там есть пакет чипсов.» Вова сказал: «Там есть бутылка Кока-Колы и пакет чипсов.» Даня сказал: «Там есть два пакета чипсов.» После урока учительница случайно оставила ящик стола открытым и, выходя из класса, дети заглянули туда и узнали, что же там на самом деле. Известно, что трое ребят оказались правы, а один — нет. Сколько пакетов чипсов прятала учительница?

  3. Три головы Змея Горыныча соревнуются в огнедыхании на дальность. После каждого залпа голова, выдохнувшая самую длинную струю огня, получает в награду четыре медали на свою шею, выдохнувшая самую короткую — одну, а оставшиеся — две. Может ли после нескольких залпов каждая голова получить по 20 медалей?

  4. Найдите наименьшее число, состоящее из трёх единиц, трёх двоек, трёх троек и трёх четвёрок, которое делится на 8.

  5. У Короля есть 10 мудрецов. Однажды он выдал первому мудрецу одну золотую монету, второму — две монеты, третьему — три, \ldots, десятому — десять. Затем он сказал, что каждую минуту мудрецы могут попросить его выдать девяти из них по одной золотой монете. Если в какой-то момент у всех мудрецов монет будет поровну, то они могут их забрать. Смогут ли мудрецы забрать золото?

  6. Деревянный куб размером \(4 \times 4 \times 4\) покрасили в синий цвет и распилили на кубики \(2 \times 2 \times 2\). Потом непокрашенную часть этих кубиков покрасили в красный. А потом распилили их на кубики \(1 \times 1 \times 1\), и оставшиеся непокрашенные квадратики покрасили в белый. Сколько получилось кубиков, у которых по 2 стороны каждого цвета?

  7. На острове Невезения собрались рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут, причём как рыцарей, так и лжецов не меньше, чем по одному. Каждый присутствующий указал на каждого из оставшихся и произнёс: «Ты — рыцарь!» или «Ты — лжец!». Высказываний «Ты — лжец!» было ровно 70. Сколько было высказываний «Ты — рыцарь!»?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Львёнок решил покататься на большой черепахе, но сначала ему нужно её догнать. Какое расстояние придётся пробежать львёнку прежде, чем он сможет покататься, если его скорость в 10 раз больше скорости черепахи, а черепаха находится в 180 метрах от львёнка?
    Решение: Пусть скорость черепахи равна $v$ м/с, тогда скорость львёнка $10v$ м/с. Скорость сближения составляет $10v - v = 9v$ м/с. Время до встречи:
    $t = \frac{180}{9v} = \frac{20}{v}$ секунд.
    За это время львёнок пробежит:
    $S = 10v \cdot \frac{20}{v} = 200$ метров.
    Ответ: 200 метров.

  2. Дети узнали, что их учительница что-то прячет у себя в столе. Федя сказал: «Там есть бутылка Кока-Колы.» Коля сказал: «Там есть пакет чипсов.» Вова сказал: «Там есть бутылка Кока-Колы и пакет чипсов.» Даня сказал: «Там есть два пакета чипсов.» После урока учительница случайно оставила ящик стола открытым и, выходя из класса, дети заглянули туда и узнали, что же там на самом деле. Известно, что трое ребят оказались правы, а один — нет. Сколько пакетов чипсов прятала учительница?
    Решение: Если Даня ошибся, то чипсов 1 пакет. Тогда:
    - Федя прав (Кока-Кола есть),
    - Коля прав (чипсы есть),
    - Вова прав (оба предмета есть),
    - Даня не прав.
    Это соответствует условию (3 правды, 1 ложь).
    Ответ: 1 пакет.

  3. Три головы Змея Горыныча соревнуются в огнедыхании на дальность. После каждого залпа голова, выдохнувшая самую длинную струю огня, получает в награду четыре медали на свою шею, выдохнувшая самую короткую — одну, а оставшиеся — две. Может ли после нескольких залпов каждая голова получить по 20 медалей?
    Решение: Сумма медалей за залп: $4 + 1 + 2 = 7$. Общее количество медалей после $k$ залпов: $7k$. Если каждая голова получит по 20 медалей, сумма составит $60$. Тогда:
    $7k = 60 \implies k = \frac{60}{7}$ — не целое число.
    Ответ: Нет.

  4. Найдите наименьшее число, состоящее из трёх единиц, трёх двоек, трёх троек и трёх четвёрок, которое делится на 8.
    Решение: Число делится на 8, если последние три цифры образуют число, кратное 8. Минимальное подходящее окончание — 344 (344 ÷ 8 = 43). Составляем число из оставшихся цифр в порядке возрастания: 111222333444. Проверяем окончание: 344.
    Ответ: 1112223333444.

  5. У Короля есть 10 мудрецов. Однажды он выдал первому мудрецу одну золотую монету, второму — две монеты, третьему — три, \ldots, десятому — десять. Затем он сказал, что каждую минуту мудрецы могут попросить его выдать девяти из них по одной золотой монете. Если в какой-то момент у всех мудрецов монет будет поровну, то они могут их забрать. Смогут ли мудрецы забрать золото?
    Решение: Изначальная сумма монет: $1+2+\dots+10 = 55$. Каждую минуту добавляется $9$ монет. Через $k$ минут сумма станет $55 + 9k$. Чтобы распределить поровну: $55 + 9k$ должно делиться на 10.
    $55 + 9k \equiv 0 \mod 10 \implies 9k \equiv 5 \mod 10 \implies k \equiv 5 \mod 10$. При $k=5$ сумма станет $55 + 45 = 100$, что делится на 10.
    Ответ: Да.

  6. Деревянный куб размером \(4 \times 4 \times 4\) покрасили в синий цвет и распилили на кубики \(2 \times 2 \times 2\). Потом непокрашенную часть этих кубиков покрасили в красный. А потом распилили их на кубики \(1 \times 1 \times 1\), и оставшиеся непокрашенные квадратики покрасили в белый. Сколько получилось кубиков, у которых по 2 стороны каждого цвета?
    Решение: Кубики с двумя цветами на гранях находятся на рёбрах исходного куба. После трёх распилов и покрасок такие кубики будут иметь по 2 стороны каждого цвета (синий, красный, белый). Всего рёбер в кубе: 12. На каждом ребре по 2 кубика.
    Ответ: 24.

  7. На острове Невезения собрались рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут, причём как рыцарей, так и лжецов не меньше, чем по одному. Каждый присутствующий указал на каждого из оставшихся и произнёс: «Ты — рыцарь!» или «Ты — лжец!». Высказываний «Ты — лжец!» было ровно 70. Сколько было высказываний «Ты — рыцарь!»?
    Решение: Пусть $k$ — рыцари, $m$ — лжецы ($k, m \ge 1$). Каждый делает $k + m - 1$ высказываний. Всего высказываний «лжец»: $2km = 70 \implies km = 35$. Возможные пары: $(5,7)$ или $(7,5)$. Общее количество высказываний: $(k + m)(k + m - 1) = 12 \cdot 11 = 132$. Высказываний «рыцарь»: $132 - 70 = 62$.
    Ответ: 62.
Материалы школы Юайти