Лицей № 146 из 7 в 8 класс 2025 Вариант 1

1. Выполните действие: \[ \bigl(8{,}6\cdot\tfrac{1}{4} \;-\;\bigl(5\tfrac{61}{90}-4\tfrac{1}{12}\bigr)\bigr) :\bigl(\tfrac{7}{40}\cdot2\tfrac{11}{12}+1{,}34\bigr). \]
2. Имеются два куска сплава олова и свинца. Первый, массой 300 г, содержит 60% олова. Второй содержит 40% олова. Сколько граммов от второго куска надо добавить к первому, чтобы получить сплав с содержанием олова 56%?
3. Какой цифрой заканчивается число \[ 21^{23} \;+\;32^{23}\;+\;14^{23}\,? \]
4. На соревнованиях по гребле спортсмен 10 мин плыл на лодке вниз по течению реки. На обратный путь против течения он затратил 30 мин. Найдите собственную скорость лодки (в км/ч), если скорость течения реки 2 км/ч.
5. Решите уравнение: \[ \frac{(5x+2)(x-1)}{5} \;-\;\frac{(3x-5)(x+2)}{3} \;=\;2. \]
6. Вычислите \[ \frac{53^2 + 22^2 - 47^2 - 16^2}{65^2 - 2\cdot65\cdot59 + 59^2}\,. \]
7. Упростите выражение: \[ \Bigl(\frac{1}{a-b}-\frac{1}{a+b}\Bigr)\;:\;\frac{a-b}{b}. \]
8. Решите уравнение: \[ 3\,\bigl|x+2\bigr| \;-\;3x \;=\;2\,\bigl|x+2\bigr|\;-\;4. \] \setcounter{enumi}{8}
9. Вычислите: \[ \frac{(36^2)^3\;\cdot\;(4^6)^4\;\cdot\;(27^3)^2} {(12^3)^{10}\;\cdot\;64}\,. \]
10. При каких значениях $m$ прямые \[ y = 3x - 5 \quad\text{и}\quad y = 2x + m \] пересекаются на оси ординат?
11. На рисунке изображены 6 квадратов. Сторона самого большого из них равна 24 см. Найдите сторону самого маленького квадрата.
    
    
12. Какова сумма углов, отмеченных на рисунке (несмотря на то, что все углы отмечены одной дугой, они могут иметь разную величину)?
    
    
13. Мама купила коробку кускового сахара. Дети сначала съели верхний слой, состоящий из 77 кусочков. Затем они съели передний слой, состоящий из 55 кусочков. Наконец, они съели боковой слой. Сколько кусочков сахара осталось в коробке?
14. Сколько диагоналей у выпуклого 20‑угольника?
15. Цена билета в театр выросла на 40\%, а выручка снизилась на 16\%. На сколько процентов уменьшилось число зрителей?
16. Когда пешеход прошёл 8 км, из того же пункта вслед за ним выехал велосипедист, скорость которого в 5 раз больше скорости пешехода. На каком расстоянии от исходного пункта велосипедист догонит пешехода?
17. Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение \[ a^2b - 1 = 146\,? \]
18. Запишите число $\displaystyle\frac{1}{5^{146}}$ в виде десятичной дроби. Какова будет последняя цифра?
19. Сколько различных значений может принимать выражение \[ \frac{|a|}{a} \;+\;\frac{|b|}{b}\;+\;\frac{|ab|}{ab}\,? \]
20. Когда в Москве полдень, в Чикаго 3 часа утра. Когда в Москве 3 часа утра, в Петропавловске‑Камчатском полдень. Сколько времени в Чикаго, когда в Петропавловске‑Камчатском 3 часа утра?

Решения задач

1. Выполните действие: \[ \left(8,6\cdot\frac{1}{4} - \left(5\frac{61}{90} -4\frac{1}{12}\right)\right) : \left(\frac{7}{40} \cdot 2\frac{11}{12} +1,34\right) = \frac{4000}{13323} \]
   Решение:
   • Вычисляем $8,6 \cdot \frac{1}{4} = \frac{43}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{43}{20}$.
   • Переводим смешанные дроби: $5\frac{61}{90} = \frac{511}{90}$, $4\frac{1}{12} = \frac{49}{12}$.
   • Разность: $\frac{511}{90} - \frac{49}{12} = \frac{287}{180}$.
   • Вычитаем: $\frac{43}{20} - \frac{287}{180} = \frac{5}{9}$.
   • Знаменатель: $\frac{7}{40} \cdot 2\frac{11}{12} = \frac{49}{96}$, $1,34 = \frac{67}{50}$.
   • Сумма: $\frac{49}{96} + \frac{67}{50} = \frac{4441}{2400}$.
   • Делим: $\frac{5}{9} : \frac{4441}{2400} = \frac{4000}{13323}$.
   Ответ: $\frac{4000}{13323}$.
   
   
2. Имеются два куска сплава. Сколько граммов второго сплава добавить к первому?
   Решение:
   • Пусть $x$ г — масса второго сплава.
   • Уравнение олова: $0,6 \cdot 300 + 0,4x = 0,56(300 + x)$.
   • Решение: $180 + 0,4x = 168 + 0,56x$ → $12 = 0,16x$ → $x = 75$ г.
   Ответ: 75 г.
   
   
3. Последняя цифра числа $21^{23} + 32^{23} +14^{23}$:
   Решение:
   • $21^{23}$ → последняя цифра 1.
   • $32^{23}$ → последняя цифра 8 (цикл 2,4,8,6).
   • $14^{23}$ → последняя цифра 4 (цикл 4,6).
   • Сумма: $1 + 8 + 4 = 13$ → последняя цифра 3.
   Ответ: 3.
   
   
4. Собственная скорость лодки:
   Решение:
   • Пусть $v$ км/ч — скорость лодки.
   • Расстояние: $\frac{v + 2}{6} = \frac{v - 2}{2}$.
   • Решение: $v + 2 = 3(v - 2)$ → $v = 4$ км/ч.
   Ответ: 4 км/ч.
   
   
5. Решите уравнение: \[ \frac{(5x + 2)(x - 1)}{5} - \frac{(3x - 5)(x + 2)}{3} = 2 \]
   Решение:
   • Раскрываем скобки: $\frac{5x^2 - 3x - 2}{5} - \frac{3x^2 + x - 10}{3} = 2$.
   • Приводим к общему знаменателю 15: $-14x + 44 = 30$ → $x = 1$.
   Ответ: 1.
   
   
6. Вычислите: \[ \frac{53^2 + 22^2 -47^2 -16^2}{65^2 -2\cdot65\cdot59 +59^2} \]
   Решение:
   • Числитель: $6 \cdot 100 +6 \cdot 38 = 828$ (формула разности квадратов).
   • Знаменатель: $(65 -59)^2 = 36$.
   • Результат: $\frac{828}{36} = 23$.
   Ответ: 23.
   
   
7. Упростите выражение: \[ \left(\frac{1}{a - b} - \frac{1}{a + b}\right) : \frac{a - b}{b} = \frac{2b^2}{(a - b)^3(a + b)} \]
   Решение:
   • Общий знаменатель: $\frac{2b}{(a^2 -b^2)}$.
   • Делим на $\frac{a - b}{b}$ → $\frac{2b^2}{(a - b)^3(a + b)}$.
   Ответ: $\frac{2b^2}{(a - b)^3(a + b)}$.
   
   
8. Решите уравнение: \[ 3|x + 2| -3x = 2|x + 2| -4 \]
   Решение:
   • Упрощаем: $|x + 2| -3x = -4$.
   • Случаи: $x \geq -2$ → $x = 3$; $x < -2$ → нет решений.
   Ответ: 3.
   
   
9. Вычислите: \[ \frac{(36^2)^3 \cdot(4^6)^4 \cdot(27^3)^2}{(12^3)^{10} \cdot64} = \frac{1}{64} \]
   Решение:
   • Представление в степенях: $2^{60} \cdot3^{30} / (2^{66} \cdot3^{30}) = 2^{-6}$.
   Ответ: $\frac{1}{64}$.
   
   
10. Значение $m$ для пересечения на оси ординат:
    Решение:
    • При $x = 0$: $y = -5 = m$.
    Ответ: $-5$.
    
    
11. Сторона маленького квадрата:
    Ответ: 3 см (предположение о структуре квадратов).
    
    
12. Сумма отмеченных углов:
    Ответ: 360° (предположение о многоугольнике).
    
    
13. Кубики сахара:
    Решение:
    • Размеры: 7×11×5. Общее количество: $7\cdot11\cdot5 = 385$.
    • Съели: $77 +55 +35 = 167$. Остаток: $385 -167 = 218$.
    Ответ: 218.
    
    
14. Диагонали 20-угольника:
    Ответ: $\frac{20\cdot17}{2} = 170$.
    
    
15. Уменьшение числа зрителей:
    Решение:
    • Новый объём: $0,6x$. Уменьшение: $40\%$.
    Ответ: 40\%.
    
    
16. Расстояние встречи:
    Решение:
    • Время: $t = \frac{8}{4v} = \frac{2}{v}$. Расстояние: $5v \cdot t =10$ км.
    Ответ: 10 км.
    
    
17. Решения уравнения $a^2b =147$:
    Ответ: $(1, 147)$, $(7, 3)$. → 2 решения.
    
    
18. Последняя цифра $\frac{1}{5^{146}}$:
    Ответ: 2 (дробь вида $0,0\ldots2$ с 146 знаками).
    
    
19. Количество значений выражения:
    Ответ: $-1, 1, 3$ → 3 значения.
    
    
20. Время в Чикаго:
    Решение:
    • Разница Москва-Камчатка: +9 часов. В Камчатке 3:00 → Москва 18:00 (предыдущего дня).
    • Чикаго: Москва $-9$ часов → $9:00$ утра.
    Ответ: 9:00.