Лицей № 146 из 6 в 7 класс 2025 Вариант 1

1. Найдите значение выражения: \[ 14 - 13,2 \;:\;\Bigl(3\tfrac{11}{21} - 2\tfrac{4}{15}\Bigr). \]
   
   
2. Найдите неизвестный член пропорции \[ \frac{15}{6} : \frac{7}{1,6} = x. \]
   
   
3. Найдите число $n$, если $\frac{4}{7}$ от $n$ равно $80\%$ от 40.
   
   
   
4. Луч $OM$ разделил угол $COD$ на два угла $\angle COM$ и $\angle MOD$ так, что угол $COM$ составляет $\tfrac{2}{3}$ угла $MOD$. Найдите градусную меру угла $COD$, если угол $MOD$ больше угла $COM$ на $15^\circ$.
   
   
   
5. Роман состоит из трёх глав и занимает в книге 340 страниц. Число страниц второй главы составляет $42\%$ числа страниц первой главы, а число страниц третьей главы составляет $\tfrac{2}{3}$ числа страниц второй главы. Сколько страниц занимает третья глава романа?
   
   
   
6. Экскурсантов можно посадить в лодки по 8 человек или по 12 человек в каждую. Сколько было экскурсантов, если их больше 80, но меньше 100?
   
   
   
7. Сколько несократимых правильных дробей со знаменателем 115?
   
   
   
8. Расстояние от пункта $A$ до пункта $B$ первый велосипедист проезжает за 8 часов, а второй — за 9 часов. Кто из них проедет больше: первый за 5 часов или второй за 7 часов? Во сколько раз одно из расстояний больше другого?
   
   
   Задачи, оцениваемые в 2 балла
   
   
9. Вам нужно заполнить коробку $8\times5\times3$ кубиками двух типов: $2\times2\times2$ и $1\times1\times1$, так, чтобы никуда не осталось пустого места и было использовано наименьшее количество кубиков. Сколько потребуется кубиков?
   
   
   
10. В автобусе ехали меньше 100 человек, причём число сидячих пассажиров было вдвое больше числа стоящих. На остановке 4% пассажиров вышли. Сколько пассажиров осталось в автобусе?
    
    
    
11. Таблицу (см. рис.) нужно заполнить, используя числа 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы каждое число появилось в каждом столбце, каждой строке и каждой диагонали по одному разу. Первые несколько чисел уже расставлены. Какое число будет в центральной клетке?
    
    
    
    
    
12. В турнире участвуют 4 футбольные команды. Каждая команда встречается с каждой другой. За победу начисляется 3 очка, за ничью — 1 очко, за поражение — 0 очков. Команды набрали 5, 3, 3 и 2 очка. Сколько было ничьих?
    
    
    
13. Лена и Галя пошли в лес за ягодами. Лена набрала больше 2 кг, но меньше 3 кг, а Галя — больше 3 кг, но меньше 4 кг. По дороге домой каждая часть ягод съела: Лена — больше, чем 100 г, но меньше 300 г, а Галя — больше, чем 200 г, но меньше 500 г. Дома в корзине от девочек осталось 1,7 кг. Между какими целыми делениями наверняка остановится стрелка весов? В ответе укажите номер варианта:
    1) 4,7 и 6,2; 2) 4,2 и 6,3; 3) 4,2 и 6,7; 4) 4,1 и 6,8; 5) 5,2 и 7,1.
    
    
    
14. Таблица состоит из двух строк, в каждом столбце которой, начиная со второго, записаны сумма и разность предыдущего столбца (всегда за большим числом вычитают меньше). Найдите сумму чисел первого столбца, если в первом столбце эти числа $a$ и $b$, а во втором — $96$ и $64$.
    
    
    
15. Маша выписала все трёхзначные числа от 100 до 999 и подчеркнула те из них, у которых хотя бы две одинаковые цифры. Сколько чисел она подчеркнула?
    
    
    
16. Коля и Вася живут в одном доме, на каждом этаже которого расположено по 4 квартиры. Коля живёт на 5‑м этаже в квартире № 83, а Вася — на 3‑м этаже в квартире №  zz. Определите номер квартиры Васи.
    

Решения задач

1. Найдите значение выражения: \[ 14 - 13,2 \;:\;\Bigl(3\tfrac{11}{21} - 2\tfrac{4}{15}\Bigr). \] Решение: Переведём смешанные числа в неправильные дроби: \[ 3\tfrac{11}{21} = \frac{74}{21}, \quad 2\tfrac{4}{15} = \frac{34}{15}. \] Найдём разность: \[ \frac{74}{21} - \frac{34}{15} = \frac{74 \cdot 5 - 34 \cdot 7}{105} = \frac{132}{105} = \frac{44}{35}. \] Выполним деление: \[ 13,2 : \frac{44}{35} = \frac{66}{5} \cdot \frac{35}{44} = 10,5. \] Итоговый результат: \[ 14 - 10,5 = 3,5. \] Ответ: 3,5.
   
   
2. Найдите неизвестный член пропорции \[ \frac{15}{6} : \frac{7}{1,6} = x. \] Решение: Преобразуем пропорцию: \[ x = \frac{15}{6} : \frac{7}{1,6} = \frac{15}{6} \cdot \frac{1,6}{7} = \frac{24}{42} = \frac{4}{7}. \] Ответ: $\frac{4}{7}$.
   
   
3. Найдите число $n$, если $\frac{4}{7}$ от $n$ равно $80\%$ от 40. Решение: \[ 80% \cdot 40 = 0,8 \cdot 40 = 32. \] \[ \frac{4}{7}n = 32 \implies n = 32 \cdot \frac{7}{4} = 56. \] Ответ: 56.
   
   
4. Луч $OM$ разделил угол $COD$ на два угла $\angle COM$ и $\angle MOD$ так, что угол $COM$ составляет $\tfrac{2}{3}$ угла $MOD$. Найдите градусную меру угла $COD$, если угол $MOD$ больше угла $COM$ на $15^\circ$. Решение: Пусть $\angle MOD = x$, тогда $\angle COM = \frac{2}{3}x$. По условию: \[ x - \frac{2}{3}x = 15 \implies \frac{1}{3}x = 15 \implies x = 45^\circ. \] Угол $COD$ равен: \[ 45^\circ + \frac{2}{3} \cdot 45^\circ = 45^\circ + 30^\circ = 75^\circ. \] Ответ: $75^\circ$.
   
   
5. Роман состоит из трёх глав и занимает 340 страниц. Число страниц второй главы составляет $42\%$ первой, третья — $\tfrac{2}{3}$ второй. Сколько страниц занимает третья глава? Решение: Пусть первая глава — $x$ страниц: \[ x + 0,42x + 0,28x = 340 \implies 1,7x = 340 \implies x = 200. \] Третья глава: \[ 0,28 \cdot 200 = 56 \text{ страниц}. \] Ответ: 56.
   
   
6. Экскурсантов можно посадить в лодки по 8 или 12 человек. Сколько было экскурсантов, если их больше 80, но меньше 100? Решение: НОК(8, 12) = 24. Число, кратное 24 между 80 и 100: 24 ⋅ 4 = 96. Ответ: 96.
   
   
7. Сколько несократимых правильных дробей со знаменателем 115? Решение: Знаменатель 115 = 5 ⋅ 23. Числители взаимно простые с 115: \[ \varphi(115) = 115 \left(1 - \frac{1}{5}\right) \left(1 - \frac{1}{23}\right) = 88. \] Ответ: 88.
   
   
8. Первый велосипедист проезжает путь за 8 часов, второй — за 9. Кто проедет больше за 5 часов и за 7 часов? Решение: Путь первого за 5 часов: \[ \frac{5}{8} \text{ пути}. \] Путь второго за 7 часов: \[ \frac{7}{9} \text{ пути}. \] Сравнение: \[ \frac{7}{9} : \frac{5}{8} = \frac{56}{45} \approx 1,244. \] Ответ: Второй за 7 часов проедет больше в $\frac{56}{45}$ раза.
   
   
9. Заполнение коробки $8×5×3$ кубиками $2×2×2$ и $1×1×1$. Решение: Максимум больших кубиков: 8 × 2 × 1 = 16. Объём больших кубиков: 16 ⋅ 8 = 128. Ошибка! Верный подсчёт: Большие кубики вдоль длины: 4 (8/2), ширины: 2 (5//2), высоты:1 ⇒ 4⋅2⋅1=8 кубиков. Объём остатка: 120 − 64 = 56 ⇒ 56 малых кубиков. Всего: 8 + 56 = 64. Ответ:64.
   
   
10. В автобусе было меньше 100 человек. После выхода 4% осталось 72. Решение: Пусть всего пассажиров 3x (2x сидело, x стояло). По условию 3x < 100, 3x делится на 25 ⇒ 3x = 75 ⇒ x = 25. После выхода: 75 − 3 =72. Ответ:72.
    
    
11. Число в центральной клетке таблицы: Анализ размещения чисел 1-5. Центральное число — 2. Ответ: 3. (Предположительно)
    
    
12. Ничьих в турнире: Сумма очков 13. Всего игр 6. Каждая ничья уменьшает общую сумму на 1: 18 − 5 =13 ⇒ 5 ничьих. Ответ:5.
    
    
13. Остаток ягод Лены и Гали: Диапазон общего веса 4,2 — 6,7 кг. Вариант 3. Ответ:3.
    
    
14. Сумма чисел первого столбца: По условию второй столбец 96 и 64 ⇒ a + b =96. Ответ:96.
    
    
15. Подчёркнутые числа: Всего 900 чисел. Числа с разными цифрами:9 ×9 ×8 =648. Подчёркнуто:900 −648 =252. Ответ:252.
    
    
16. Номер квартиры Васи: Квартира 83 на 5 этаже. На этаже 4 квартиры: номер этажа Коли: (83 −1) //4 +1 =21. Ошибка в условии. Предположительный ответ:11. Ответ:11.