Лицей НИУ ВШЭ профиль из 9 в 10 класс 2026 год Вариант Юайти 1

ЛИЦЕЙ НИУ ВШЭ

Пробный вариант Юайти 1 (переход 9 $\to$ 10 класс)

Углубленная математика.

2026 год

1. Найдите все значения \(x\), при которых верно неравенство \[ \frac{x^{2} - 6 x + 13}{\sqrt{7-x}}-\sqrt{7-x}\ge 0. \]
2. Задача. В электронном замке используется пятизначный код. Известно, что код читается одинаково слева направо и справа налево (то есть имеет вид \(abcba\)). Найдите все такие коды, которые делятся на \(45\) и не используют в своей записи цифру $0$.
3. На плане территории отмечены точки \(A,B,C,D\), образующие выпуклый четырёхугольник \(ABCD\). Продолжения прямых \(CD\) за точку \(C\) и \(AB\) за точку \(B\) пересекаются в точке \(N\). Известно, что \(S_{ABD}=6\) и \(S_{ABC}=3\), а также \(AB=BN\). Диагонали \(BD\) и \(AC\) пересекаются в точке \(O\).
   1. Докажите, что \(BC\) – средняя линия треугольника \(AND\).
   2. Найдите \(OD\), если \(BO=\frac{1}{2}\).
4. Найдите площадь области на координатной плоскости, заданной системой неравенств \[ \begin{cases} (|x|-2)\,y\le 0, & \\ x^2+y^2\le 4|x|. & \end{cases} \]
5. При каких значениях параметра \(a\) множество решений уравнения \[ |x-a|+|x+a|=8 \] является отрезком? Найдите этот отрезок.