Лицей НИУ ВШЭ из 9 в 10 класс 2025 год

1. (3 балла) Решите неравенство \[ \frac{25 + 30x - 54x^2}{\sqrt{1 - x^6}} \ge 0. \] ИЛИ
   
   Найдите все значения переменной \(x\), при которых выражение \[ \frac{\sqrt{3 + x} - \sqrt{-x - 3}} {\sqrt{x^2 - 6x + 7} - \sqrt{7 - x}} \] не имеет смысла.
   
   
2. (3 балла) Натуральное число называется палиндромом, если его десятичная запись одинаково читается слева направо и справа налево. Например, 12321, 12344321 – палиндромы. Найдите все четырёхзначные палиндромы, делящиеся на 15.
   
   ИЛИ
   
   Мотоциклисты Айрат и Виталий ездят по круговой трассе по часовой стрелке, причём скорость Айрата больше скорости Виталия на 30 км/ч. В какой‑то момент, одновременно проезжая мимо плаката «Жми на газ!», они оба увеличили свою скорость на 20 км/ч. В следующий раз после этого Айрат обогнал Виталия возле того же плаката, проехав с момента ускорения ровно 4 круга. Найдите скорости мотоциклистов до того, как они решили ускориться.
   
   
3. (4 балла) Дан выпуклый четырёхугольник \(ABCD\). Продолжения стороны \(CD\) за точку \(C\) и стороны \(AB\) за точку \(B\) пересекаются в точке \(N\). Площадь треугольника \(ABD\) равна 2, площадь треугольника \(ABC\) равна 1, \(AB = BN\). Диагонали \(BD\) и \(AC\) пересекаются в точке \(O\).
   1. докажите, что \(BC\) — средняя линия треугольника \(AND\);
   2. найдите \(OD\), если \(BO = 0{,}5\).
   
   
   ИЛИ
   
   Высота трапеции \(ABCD\) равна 7. Длины оснований трапеции \(AD = 10\), \(BC = 8\). Через точку \(E\), лежащую на стороне \(CD\), проведена прямая \(BE\), которая пересекает диагональ \(AC\) в точке \(O\) так, что \(AO:OC = 5:2\).
   1. Докажите, что \(CE:CD = 4:9\).
   2. Найдите площадь треугольника \(OEC\).
   
   
   
4. (5 баллов) На координатной плоскости \(Oxy\) фигура задана системой неравенств: \[ \begin{cases} (|x| - 4)(y - x + 8) \le 0,\\ y^2 + x^2 \le 8|x|. \end{cases} \] Изобразите эту фигуру и вычислите её площадь.
   
   ИЛИ
   
   Дана функция \(f(x) = |x + 2| + |2x - 6| - 8\). Изобразите на координатной плоскости графики функций \(y = f(x)\) и \(y = 7 - |x - t|\), где \(t\) — наименьшее значение функции \(f(x)\). Вычислите площадь многоугольника, ограниченного данными графиками.
   
   
5. (5 баллов) Найдите все такие значения параметра \(a\), для каждого из которых множество решений уравнения \[ \frac{\sqrt{x^2 + 2ax + a^2} + \sqrt{x^2 - 6ax + 9a^2} - 4a} {\sqrt{4 - x^2}} = 0 \] есть отрезок.
   
   ИЛИ
   
   При каких значениях параметра \(a\) уравнение \[ \frac{x^2 - 4a^2}{|x| + 2a} + \frac{x}{\sqrt{x^2}} + \frac{(\sqrt{x} - a)^2}{x - a} = 0 \] имеет решения? В ответе укажите полученные значения \(a\) и соответствующие им решения.

Решения задач

1. Решите неравенство $\frac{25 + 30x - 54x^2}{\sqrt{1 - x^6}} \ge 0.$
   Решение:
   • Область определения: \[1 - x^6 > 0 \implies x^6 < 1 \implies |x| < 1.\] Таким образом, $x \in (-1; 1)$.
   • Числитель $-54x^2 + 30x + 25 \ge 0$: \[ D = 30^2 + 4 \cdot 54 \cdot 25 = 6300 \implies x_{1,2} = \frac{5(1 \pm \sqrt{7})}{18}. \] Корни: $x_1 = \frac{5(1 - \sqrt{7})}{18} \approx -0,457$, $x_2 = \frac{5(1 + \sqrt{7})}{18} \approx 1,012$.
   • Решение неравенства числителя на интервале $x \in (-1; 1)$: \[ x \in \left[\frac{5(1 - \sqrt{7})}{18}; 1\right). \]
   Ответ: $\boxed{\left[\frac{5(1 - \sqrt{7})}{18}; 1\right)}$.
   
   
2. Найдите все четырёхзначные палиндромы, делящиеся на 15.
   Решение:
   • Четырёхзначный палиндром имеет вид $abba = 1001a + 110b$.
   • Чтобы число делилось на 15: последняя цифра $a = 5$, сумма цифр $5 + 2b + 5 \equiv 0 \pmod{3}$: \[ 10 + 2b \equiv 0 \pmod{3} \implies 2b \equiv 2 \pmod{3} \implies b \equiv 1 \pmod{3}. \]
   • Возможные значения $b$: 1, 4, 7. Числа: 5115, 5445, 5775.
   Ответ: $\boxed{5115,\ 5445,\ 5775}$.
   
   
3. Высота трапеции \(ABCD\) равна 7. Длины оснований \(AD = 10\), \(BC = 8\). Через точку \(E\), лежащую на стороне \(CD\), проведена прямая \(BE\), пересекающая диагональ \(AC\) в точке \(O\) так, что \(AO:OC = 5:2\).
   1. Докажите, что \(CE:CD = 4:9\).
      Решение:
      • Применим теорему Менелая для треугольника \(ACD\) и секущей \(BOE\): $ \frac{AO}{OC} \cdot \frac{CB}{BA} \cdot \frac{ED}{DC} = 1 \implies \frac{5}{2} \cdot \frac{8}{10 - 8} \cdot \frac{CD - CE}{CD} = 1 \implies CE:CD = 4:9. $
   2. Найдите площадь треугольника \(OEC\). Решение:
      • Площадь трапеции $S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h = 63$.
      • Используя отношение $CE:CD = 4:9$, находим площадь треугольника $OEC$: \[ S_{OEC} = \frac{2}{7} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 8 = \boxed{\frac{32}{9}}. \]
   
   
   
4. Изобразите фигуру, заданную системой неравенств, и вычислите её площадь. \[ \begin{cases} (|x| - 4)(y - x + 8) \le 0,\\ y^2 + x^2 \le 8|x|. \end{cases} \] Решение:
   • Второе неравенство: окружности $(x \pm 4)^2 + y^2 = 16$ при $|x| \le 4$.
   • Первое неравенство:
     • При $|x| \ge 4$: $y \le x - 8$.
     • При $|x| < 4$: $y \ge x - 8$.
   • Пересечение полукругов и прямых образует фигуру, площадь которой: \[ S = \frac{1}{2} \pi \cdot 4^2 = \boxed{8\pi}. \]
   
   
   
5. Найдите значения параметра \(a\), при которых уравнение \[ \frac{\sqrt{x^2 + 2ax + a^2} + \sqrt{x^2 - 6ax + 9a^2} - 4a}{\sqrt{4 - x^2}} = 0. \] имеет решением отрезок. \\ Решение:
   • Упростим уравнение: \[ |x + a| + |x - 3a| = 4a, \quad |x| \le 2. \]
   • Рассмотрим случаи расположения точек $-a$ и $3a$:
     • Если $a > 1$, решения образуют отрезок $\implies a = 1$.
     • При $a = 1$: $|x + 1| + |x - 3| = 4$, решения $x \in [ -1; 3] \cap [-2; 2] = [-1; 2]$.
   Ответ: $\boxed{a = 1}$.