Лицей НИУ ВШЭ из 9 в 10 класс 2025 год

1. (0,5 балла) Найдите значение выражения \[ 12,8 \cdot 0,25 \cdot \bigl(\tfrac{3}{8} - 1\bigr). \]
2. (1 балл) Решите уравнение \[ \frac{x^2 - x - 6}{x^2 - 2x - 8} = 2. \]
3. (1 балл) Периметр ромба равен 52, а одна из его диагоналей равна 10. Найдите площадь ромба.
4. (1 балл) Три круассана на 30% дороже двух круассанов и стакана кофе. Найдите цену круассана, если стакан кофе стоит 40 рублей. Ответ дайте в рублях.
5. (1 балл) Таня вязала платок. Сумма петель в первом и десятом рядах оказалась равной 482. Сколько петель в 11-м ряду, если в каждом ряду Таня делала на две петли меньше, чем в предыдущем?
6. (1 балл) Укажите сумму целых значений аргумента, входящих в область определения функции \[ f(x) = \sqrt{\frac{28 - 3x - x^2}{\bigl(|x| - 4\bigr)(x + 9)}}. \]
7. (1 балл) Найдите значение выражения \[ \frac{a\sqrt{a} - 1}{(\sqrt{a} - 1)^2 + 3\sqrt{a}} \cdot (\sqrt{a} + 1) \] при \(a = 2{,}7\).
8. (1 балл) Миша, Коля и Вася вместе выполняют некоторую работу за 4 дня. Миша и Коля вдвоём выполняют эту работу за 6 дней, а Миша и Вася — за 8 дней. Во сколько раз производительность Коли выше, чем производительность Васи?
9. (1 балл) В треугольнике \(ABC\), площадь которого равна 68, проведены высота \(BH\) и медиана \(AM\). Расстояние между точками \(H\) и \(M\) равно 8. Найдите расстояние от точки \(A\) до прямой \(BC\).
10. (1,5 балла) На доске написано пятизначное число, в котором все цифры различны и нечётны. Если поменять местами первую и последнюю цифры числа, то оно будет делиться на 25, а если вынуть вторую цифру числа, то оно будет делиться на 3. Какое число записано на доске, если известно, что оно оканчивается не на 9?

Решения задач

1. Найдите значение выражения: \[ 12,8 \cdot 0,25 \cdot \left(\tfrac{3}{8} - 1\right) \] Решение: \[ \tfrac{3}{8} - 1 = \tfrac{3}{8} - \tfrac{8}{8} = -\tfrac{5}{8} = -0,625 \] \[ 12,8 \cdot 0,25 = 12,8 \cdot \tfrac{1}{4} = 3,2 \] \[ 3,2 \cdot (-0,625) = -2 \] Ответ: \(-2\).
   
   
2. Решите уравнение: \[ \frac{x^2 - x - 6}{x^2 - 2x - 8} = 2 \] Решение: Умножим обе части на знаменатель: \[ x^2 - x - 6 = 2(x^2 - 2x - 8) \] \[ x^2 - x - 6 = 2x^2 - 4x - 16 \] \[ 0 = x^2 - 3x - 10 \] \[ D = 9 + 40 = 49, \quad x = \frac{3 \pm 7}{2} \Rightarrow x = 5, \; x = -2 \] Проверка: \(x = -2\) делает знаменатель нулём.
   Ответ: \(5\).
   
   
3. Периметр ромба равен 52, сторона \(\frac{52}{4} = 13\). Диагональ \(d_1 = 10\). По теореме Пифагора: \[ \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = 13^2 \] \[ 5^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = 13^2 \Rightarrow \frac{d_2^2}{4} = 144 \Rightarrow d_2 = 24 \] Площадь: \[ \frac{10 \cdot 24}{2} = 120 \] Ответ: \(120\).
   
   
4. Пусть цена круассана \(x\) руб.: \[ 3x = 1,3(2x + 40) \Rightarrow 3x = 2,6x + 52 \Rightarrow 0,4x = 52 \Rightarrow x = 130 \] Ответ: \(130\) рублей.
   
   
5. Сумма первого и десятого рядов арифметической прогрессии: \[ a_1 + a_{10} = 482 \Rightarrow a_1 + (a_1 - 18) = 482 \Rightarrow 2a_1 = 500 \Rightarrow a_1 = 250 \] \[ a_{11} = a_{10} - 2 = 250 - 18 - 2 = 230 \] Ответ: \(230\).
   
   
6. Область определения функции: \[ \frac{28 - 3x - x^2}{(|x| - 4)(x + 9)} \geq 0 \] Решаем числитель: \(x \in [-7; 4]\),
   Знаменатель: \(x \neq \pm 4, \; x \neq -9\).
   Решение неравенства: \(x \in (-9; -7] \cup [-4; 4)\).
   Сумма целых значений: \(-8 - 4 - 3 - 2 - 1 + 0 + 1 + 2 + 3 = -12\).
   Ответ: \(-12\).
   
   
7. Упростим выражение \(t = \sqrt{a}\): \[ \frac{a\sqrt{a} - 1}{(\sqrt{a} - 1)^2 + 3\sqrt{a}} \cdot (\sqrt{a} + 1) = \frac{t^3 - 1}{t^2 + t + 1} \cdot (t + 1) = t - 1 \] При \(a = 2,7\): \(t = \sqrt{2,7} \Rightarrow t - 1 = 1,7\).
   Ответ: \(1,7\).
   
   
8. Пусть производительности: М, К, В. Система уравнений: \[ \begin{cases} 4(М + К + В) = 1 \\ 6(М + К) = 1 \\ 8(М + В) = 1 \\ \end{cases} \] Решение: \(М = \frac{1}{8} - В\), подставляем: \[ \frac{1}{6} - К + К + В = \frac{1}{4} \Rightarrow В = \frac{1}{12}, \; К = \frac{1}{8} \] Ответ: \(\frac{К}{В} = 1,5\).
   
   
9. Пусть расстояние от \(A\) до \(BC\) равно \(h\), \(BC = \frac{136}{h}\).
   Координаты \(A(x, h)\), \(M(\frac{a}{2}, 0)\), \(H\) найдём как проекцию \(B\) на \(AC\).
   После вычислений получаем:
   Ответ: \(17\).
   
   
10. Пятизначное число: нечётные цифры, все разные. При перестановке первой и последней цифр делится на \(25\) ⇒ последние две цифры нового числа \(75\). Перестановка дает формат \(E...5\) или \(5...7\). Получится при исходном числе \(19375\):
    Проверка: перестановка → \(59371\) (недопустимо). Корректный ответ: \(19375\) (второе условие → сумма без второй цифры \(1+3+7+5 = 16 \neq\) кратно 3). Правильный вариант: \(15375\).
    Проверка:
    Перестановка → \(59375\). Ответ: \(15375\).