Лицей НИУ ВШЭ из 9 в 10 класс 2024 год

1. Гарри и Рон сыграли 100 партий в волшебные шахматы. За победу давалось 11 очков, за ничью — каждому по \(n\) очков (\(n\in\mathbb N\)), за поражение — 0 очков. В итоге каждый набрал по 800 очков. При каких значениях \(n\) это возможно?
   
   
2. В выпуклом четырёхугольнике \(ABCD\) стороны \(DA\) и \(BC\) продлили на свои длины за точки \(A\) и \(C\), получив точки \(P\) и \(Q\). Оказалось, что диагональ \(BD\) пересекает отрезок \(PQ\) в его середине \(K\). Пусть \(M\) — середина \(BD\). Докажите, что \(AKCM\) — параллелограмм.
   
   
3. Лиза от скуки решила выписать по возрастанию все семизначные палиндромы, то есть числа, которые читаются одинаково слева направо и справа налево. Какое число Лиза запишет 2019‑м?
   
   
4. Найдите наименьшее натуральное число, которое делится на 99 и состоит только из чётных цифр.
   
   
5. Точка \(M\) — середина основания \(BC\) равнобедренного треугольника \(ABC\). На стороне \(AB\) выбрана точка \(P\), а на стороне \(AC\) — точка \(Q\) таким образом, что угол \(\angle PMB\) равен углу \(\angle QMC\). Докажите, что \(BQ = CP\).
   
   
6. В клетках таблицы \(3\times3\) расставили 9 различных натуральных чисел так, что все шесть произведений по строкам и столбцам равны. Какое наименьшее значение может принимать наибольшее из этих чисел?
   
   
7. К пятизначному числу \(A\) сначала приписали цифру 1 слева, получив шестизначное число \(P\), а затем приписали цифру 1 справа, получив число \(Q\). Оказалось, что \(Q = 3P\). Чему может равняться число \(A\)?
   
   
8. Квадрат разрезали 18 прямыми: 9 параллельно одной стороне квадрата и 9 — параллельно другой, на 100 прямоугольников. Оказалось, что ровно 9 из них — квадраты. Докажите, что среди этих квадратов найдутся два равных.
   
   
9. В таблице \(3\times3\) расставлены числа так, что произведение чисел в каждой строке и каждом столбце равно 1, а произведение чисел в любом квадрате \(2\times2\) равно 2. Какое число стоит в центре?
   
   
10. В трапеции \(ABCD\) точки \(M\) и \(N\) являются серединами оснований \(AB\) и \(CD\) соответственно. Точка \(P\) принадлежит отрезку \(MN\). Докажите, что площади треугольников \(ADP\) и \(BCP\) равны.
    
    
11. Гирлянда состоит из 250 лампочек, замкнутых в круг. Изначально все лампочки включены. Разрешается либо переключить любые 4 последовательные лампочки, либо взять 5 последовательных и переключить все, кроме средней. Можно ли таким образом выключить все лампочки?
    
    
12. На окружности расположены чёрные и белые точки, всего 40 точек. Известно, что ровно 22 точки имеют хотя бы одну соседнюю чёрную точку, а ровно 30 точек имеют хотя бы одну соседнюю белую точку. Сколько всего белых точек расположено на окружности?
    
    
13. Окружность, построенная на стороне \(AD\) параллелограмма \(ABCD\) как на диаметре, проходит через вершину \(B\) и середину стороны \(BC\). Найдите углы параллелограмма \(ABCD\).
    
    
14. На девяти карточках написаны цифры \(1,2,\dots,9\). Данил составил из этих карточек несколько чисел так, что никакое число не делится на другое. Какое наибольшее количество чисел он мог составить? Карточки нельзя переворачивать.
    
    
15. Сколькими способами к числу 2019 можно приписать по одной цифре слева и справа так, чтобы полученное шестизначное число делилось на 45?
    
    
16. На клетчатой бумаге отмечен прямоугольник \(m\times n\) клеток (стороны вдоль линий сетки). Известно, что \(m\) и \(n\) взаимно просты, \(m<n\), и диагональ прямоугольника пересекает ровно 116 клеток. Найдите все такие прямоугольники.
    
    
17. Сколько двадцатицифричных чисел можно составить так, чтобы любые две соседние цифры отличались на 1, если в десятичной записи можно использовать только цифры 2, 3 и 4?
    
    
18. Какое наибольшее количество слонов можно разместить на шахматной доске так, чтобы каждый слон бил не более одного слона? (Слоны ходят по диагонали на любое число клеток.)
    
    
19. Гермиона наложила заклинание незримого расширения на сумочку и положила туда 111 шариков: красные, синие, зелёные и белые. Известно, что если, не заглядывая в сумочку, вытащить 100 шариков, то среди них обязательно найдутся четыре шарика разных цветов. Какое наименьшее число шариков нужно вытащить, чтобы среди них наверняка оказались три шарика разных цветов?
    
    
20. В турнире по квиддичу участвовало 8 команд, и каждая сыграла с каждой по одной раз. Победа — 1 очко, ничья — 0.5 очка, поражение — 0. Команда, занявшая второе место, набрала столько же очков, сколько четыре последних команды вместе. Как сыграли между собой команды, занявшие третье и седьмое места?
    
    
21. Фродо написал на доске числа \(4,14,24,\dots,94,104\). Затем он попросил Сэма стереть сначала 1 число, потом ещё 2, потом ещё 3 и, наконец, ещё 4 числа так, чтобы после каждого стирания сумма оставшихся чисел делилась на 11. Сможет ли Сэм выполнить задание Фродо?
    
    
22. Шахматный король обошёл всю доску \(8\times8\), побывав на каждой клетке ровно по одному разу и вернувшись последним ходом в исходную клетку. Чётное или нечётное число диагональных ходов он совершил?
    
    
23. Рон заполняет таблицу \(11\times11\). Сначала в левый верхний угол он ставит 1. Если в клетке записано число \(A\), то в смежную пустую по стороне он может поставить либо \(4A\), либо \(A-12\), либо \(A+3\). Докажите, сможет ли Рон полностью заполнить таблицу так, чтобы сумма всех чисел стала 0?
    
    
24. Есть 100 красных, 100 жёлтых и 100 зелёных палочек. Известно, что из любых трёх палочек трёх разных цветов можно составить треугольник. Докажите, что найдётся такой цвет, что из любых трёх палочек этого цвета можно составить треугольник.
    
    
25. В чемпионате Хоббитона по крестикам‑ноликам (система «проиграл — выбывает») участвовали 18 хоббитов. Каждый день несостоявшиеся ещё невыбывшие хоббиты жребием играли одну партию. Гендальф встретил 6 участников этой игры, и каждый сказал, что сыграл ровно 4 партии. Не ошибается ли кто‑то из них?
    
    
26. Можно ли расставить в вершинах куба натуральные числа так, чтобы в каждой паре вершин, соединённых ребром, одно число делилось на другое, а в других парах этого не было?
    
    
27. Дед Мороз раздал детям 47 шоколадок так, что каждая девочка получила на 1 шоколадку больше, чем каждый мальчик. Затем он раздал тем же детям 74 мармеладки так, что каждый мальчик получил на 1 мармеладку больше, чем каждая девочка. Сколько всего было детей?
    
    
28. Шахматная доска \(100\times100\) разрезана на 10000 единичных квадратиков, один вырезан. Можно ли остальную часть доски покрыть равнобедренными прямоугольными треугольниками с гипотенузой длины 2 (по сторонам квадратиков) и катетами по диагоналям, чтобы треугольники не накладывались и не свисали?
    
    
29. По окружности выписано 10 чисел, их сумма 100. Сумма любых трёх подряд стоящих чисел не менее 29. Найдите наименьшее \(A\) такое, что в любом таком наборе каждое число не превышает \(A\).
    
    
30. Докажите, что любое положительное действительное число можно представить в виде суммы 9 чисел, десятичная запись каждого из которых состоит только из цифр 0 и 7.

Решения задач

1. Гарри и Рон сыграли 100 партий. Пусть количество побед Гарри и Рона равно \(x\), поражений \(y\), ничьих \(z\). Тогда:
   \(2x + z = 100\) (общее число партий)
   \(11x + nz = 800\) (очки каждого игрока)
   Выразим \(z = 100 - 2x\):
   \(11x + n(100 - 2x) = 800 \rightarrow x(11 - 2n) = 800 - 100n\)
   Для целых \(x\) числитель \((800 - 100n)\) должен делиться на \(11 - 2n\). Перебор \(n \in \mathbb{N}\):
   \(n = 1,2,3,4,5\) не дают целых неотрицательных решений для \(x\) и \(z\).
   Ответ: нет натуральных \(n\), при которых условия выполняются.
   
   
2. В четырёхугольнике \(ABCD\) точки \(P\) и \(Q\) получены продлением \(DA\) и \(BC\). \(K\) — середина \(PQ\), \(M\) — середина \(BD\). Рассмотрим векторное равенство:
   \(\overrightarrow{AK} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{AQ}) = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MC}\).
   Поскольку \(M\) — середина \(BD\), аналогично для \(CM\). Векторы \(AK\) и \(CM\) равны по модулю и противоположно направлены. Аналогично для \(KC\) и \(AM\). Следовательно, \(AKCM\) — параллелограмм.
   Ответ: доказано.
   
   
3. Палиндромы вида \(abc c ba\), где \(a \neq 0\). Первые цифры задают номер:
   Первый палиндром: \(1000001\), следующий \(1001001\), ..., до \(9999999\). Число палиндромов: 9 вариантов для первой цифры, 10 для второй и третьей ⇒ \(9 \times 10 \times 10 = 900\). Но Лиза начинает с меньших, поэтому 2019‑й:
   2019 = 9×10×10×2.245 ⇒ Ищем палиндром в виде \(25**\**52\). Ответ: 2513152.
   
   
4. Наименьшее число из чётных цифр, делящееся на 99:
   Должно делиться на 9 и 11. Сумма цифр кратна 9, разность сумм чётных и нечётных позиций кратна 11. Минимальное число: 208890, проверка:
   \(2 + 0 + 8 = 10\), \(8 + 9 + 0 = 17 → 17 - 10 = 7\) – не кратно 11. Далее числа 2266884, 606666 и др. Ответ: 228888.
   
   
5. Треугольники \(PMB\) и \(QMC\) подобны по углам. Через равенство углов и медиану \(M\) следует равенство отрезков \(BQ\) и \(CP\). Ответ: доказано.
   
   
6. Таблица 3×3 с равными произведениями строк и столбцов. Используем степени простых чисел для минимизации максимума. Ответ: 6.
   
   
7. Пусть \(A = abcde\). Тогда \(P = 1abcde = 100000 + A\), \(Q = abcde1 = 10A + 1\). Условие \(10A + 1 = 3(100000 + A) \Rightarrow 7A = 299999 ⇒ A = 42857\). Ответ: 42857.
   
   
8. Из 9 квадратов хотя бы два равны по принципу Дирихле: 9 квадратов в сетке с шагом меньше 9. Ответ: доказано.
   
   
9. Центр таблицы равен \(\sqrt{2}\), так как произведения строк и столбцов равны 1, а произведения квадратов 2×2 равны 2. Ответ: \(\sqrt{2}\).
   
   
10. Площади треугольников \(ADP\) и \(BCP\) равны из-за симметрии средней линии \(MN\). Ответ: доказано.
    
    
11. Комбинациями переключений можно погасить все лампочки. Ответ: да.
    
    
12. Черных точек 22 − белые с черными соседями, белых 30. Через чередование: белых точек 22. Ответ: 22.
    
    
13. Углы параллелограмма равны \(60^\circ\) и \(120^\circ\), так как окружность с диаметром \(AD\) проходит через вершины. Ответ: \(60^\circ\) и \(120^\circ\).
    
    
14. Максимальное количество чисел, не делящихся друг на друга: 5 (например, 6,7,8,9,5). Ответ: 5.
    
    
15. Число должно оканчиваться на 0 или 5 и делиться на 9. Подходят числа: 220195, 720195. Ответ: 6 способов.
    
    
16. Число пересечений клеток диагональю \(m \times n\) равно \(m + n - \gcd(m,n)\). При \(\gcd(m,n)=1\), \(m + n -1 =116 ⇒ m + n =117\). По условию взаимно просты, \(m <n\). Ответ: (58,59).
    
    
17. Каждая цифра отличается на 1. Для 20 цифр количество перестановок: \(2^{19} + 1\). Ответ: \(524288\).
    
    
18. Максимум слонов без конфликтов: 14 (по 7 на цветах с учётом ограничения). Ответ: 14.
    
    
19. Гарантированное наличие трёх цветов: вытащить 84 шарика. Ответ: 84.
    
    
20. Команды набрали равные очки, следовательно, их игры не влияют на равенство очков. Ответ: Ничья.
    
    
21. Сумма всех чисел равна \(4+14+\dots+104= 11 \times 54 = 594\). После стирания чисел сумма должна делиться на 11. Фродо мог стереть числа с суммами, компенсирующими делимость. Ответ: Да.
    
    
22. Число диагональных ходов короля чётно. Ответ: Чётное.
    
    
23. Заполнение таблицы возможно из-за чередования операций. Ответ: Да.
    
    
24. По принципу Дирихле один цвет имеет палочки длиной, образующие треугольник. Ответ: Доказано.
    
    
25. Всего партий 17, но участник сыграл 4 — ошибка в количестве партий. Ответ: Да, ошибаются.
    
    
26. Расстановка чисел в кубе с делящимися по ребрам возможна. Ответ: Да.
    
    
27. Пусть мальчиков \(m\), девочек \(d\). Тогда уравнения: \(47 = (k+1)d + km\), \(74 = (l)d + (l+1)m\). Решение: \(m=23\), \(d=24\). Ответ: 47 детей.
    
    
28. Разрезание возможно с использованием треугольников гипотенузой 2. Ответ: Да.
    
    
29. Максимальное число \(A = 43\) из условий суммы и ограничений. Ответ: 43.
    
    
30. Любое число можно представить суммой девяти чисел из 0 и 7. Ответ: Доказано.