Лицей НИУ ВШЭ из 9 в 10 класс 2024 год

1. (3 балла) Решите неравенство \[ \frac{25 + 30x - 54x^2}{\sqrt{1 - x^6}} \ge 0. \] ИЛИ
   
   Найдите все значения переменной \(x\), при которых выражение \[ \frac{\sqrt{3 + x} - \sqrt{-x - 3}} {\sqrt{x^2 - 6x + 7} - \sqrt{7 - x}} \] не имеет смысла.
   
   
2. (3 балла) Натуральное число называется палиндромом, если его десятичная запись одинаково читается слева направо и справа налево. Например, 12321, 12344321 — палиндромы. Найдите все четырёхзначные палиндромы, делящиеся на 15. ИЛИ
   
   Мотоциклисты Айрат и Виталий ездят по круговой трассе по часовой стрелке, причём скорость Айрата больше скорости Виталия на 30 км/ч. В какой‑то момент, одновременно проезжая плакат «Жми на газ!», они оба увеличили свою скорость на 20 км/ч. В следующий раз после этого Айрат обогнал Виталия у того же плаката, проехав ровно 4 круга с момента ускорения. Найдите их скорости до ускорения.
   
   
3. (4 балла) Дан выпуклый четырёхугольник \(ABCD\). Продолжения стороны \(CD\) за точку \(C\) и стороны \(AB\) за точку \(B\) пересекаются в точке \(N\). Площадь \(\triangle ABD = 2\), площадь \(\triangle ABC = 1\), \(AB=BN\). Диагонали \(BD\) и \(AC\) пересекаются в точке \(O\).
   1. Докажите, что \(BC\) — средняя линия \(\triangle AND\).
   2. Найдите \(OD\), если \(BO = 0{,}5\).
   ИЛИ
   
   Высота трапеции \(ABCD\) равна 7. Длины оснований \(AD = 10\), \(BC = 8\). Через точку \(E\in CD\) проведена прямая \(BE\), пересекающая диагональ \(AC\) в точке \(O\) так, что \(AO:OC = 5:2\).
   1. Докажите, что \(CE:CD = 4:9\).
   2. Найдите площадь \(\triangle OEC\).
   
   
   
4. (5 баллов) На координатной плоскости \(Oxy\) фигура задана системой неравенств \[ \begin{cases} (|x| - 4)(y - x + 8) \le 0,\\ y^2 + x^2 \le 8|x|. \end{cases} \] Изобразите эту фигуру и вычислите её площадь. ИЛИ
   
   Дана функция \(f(x) = |x + 2| + |2x - 6| - 8\). Постройте графики \(y = f(x)\) и \(y = 7 - |x - t|\), где \(t = \min f(x)\). Вычислите площадь многоугольника, ограниченного этими графиками.
   
   
5. (5 баллов) Найдите все значения параметра \(a\), для которых множество решений уравнения \[ \frac{\sqrt{x^2 + 2ax + a^2} + \sqrt{x^2 - 6ax + 9a^2} - 4a} {\sqrt{4 - x^2}} = 0 \] является отрезком. ИЛИ
   
   При каких значениях \(a\) уравнение \[ \frac{x^2 - 4a^2}{|x| + 2a} + \frac{x}{\sqrt{x^2}} + \frac{(\sqrt{x} - a)^2}{x - a} = 0 \] имеет решения? В ответе перечислите значения \(a\) и соответствующие им решения.

Решения задач

1. Решите неравенство \[ \frac{25 + 30x - 54x^2}{\sqrt{1 - x^6}} \ge 0 \]
   Решение:
   Область определения:
   Знаменатель $\sqrt{1 - x^6}$ определён при $1 - x^6 > 0 \Rightarrow x^6 < 1 \Rightarrow |x| < 1$.
   Следовательно, область допустимых значений: $-1 < x < 1$. Анализ числителя:
   Решим квадратное уравнение $-54x^2 + 30x + 25 = 0$:
   Дискриминант $D = 30^2 + 4 \cdot 54 \cdot 25 = 900 + 5400 = 6300$
   Корни: \[ x_{1,2} = \frac{-30 \pm \sqrt{6300}}{-108} = \frac{-30 \pm 30\sqrt{7}}{-108} = \frac{5 \pm \sqrt{7}}{18} \] Приближённо: $x \approx -0.447$ и $x \approx 0.944$.
   Поскольку коэффициент при $x^2$ отрицательный, числитель $\ge 0$ на промежутке между корнями: $-0.447 \le x \le 0.944$. Пересечение с ОДЗ: Учитывая $-1 < x < 1$, решение неравенства: \[ x \in [-0.447; 0.944] \]
   Ответ: $x \in \left[ \frac{5 - \sqrt{7}}{18}; \frac{5 + \sqrt{7}}{18} \right]$.
2. Найдите все четырёхзначные палиндромы, делящиеся на 15.
   Решение:
   Четырёхзначный палиндром имеет вид $\overline{abba}$, где $a \in \{1,\dots,9\}$, $b \in \{0,\dots,9\}$. Для делимости на 15 число должно делиться на 3 и 5.
   Признак делимости на 5: Последняя цифра — 0 или 5 \Rightarrow $a = 5$ (так как $a$ также первая цифра и не может быть 0).
   Число имеет вид: $\overline{5bb5}$.
   Делимость на 3: Сумма цифр $(5 + b + b + 5) = 10 + 2b$ должна делиться на 3.
   Условие: $10 + 2b \; \vdots \; 3 \Rightarrow 2b \equiv -10 \equiv 2 \; (\text{mod } 3) \Rightarrow b \equiv 1 \; (\text{mod } 3)$. Возможные $b$: $1,4,7$.
   Получаем числа: 5115, 5445, 5775.
   Ответ: 5115, 5445, 5775.
3. В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD = 10$, $BC = 8$ и высотой 7 через точку $E$ на стороне $CD$ проведена прямая $BE$, делящая диагональ $AC$ в отношении $AO:OC = 5:2$.
   1. Доказательство: Применим теорему Менелая к $\triangle ACD$ с секущей $BE$. \[ \frac{AE}{ED} \cdot \frac{DB}{BC} \cdot \frac{CO}{OA} = 1 \] Из отношения $AO:OC = 5:2$ и свойств трапеции получим $CE:ED = 4:5$.
      Ответ: $CE:CD = 4:9$.
   2. Площадь $\triangle OEC$: Используя отношение сегментов и площади трапеции $S = \frac{(10 + 8)}{2} \cdot 7 = 63$.
      Аналогично, $\triangle OEC$ составляет $\frac{4}{9}$ от соответствующего треугольника, площадь: \[ S_{OEC} = \frac{2}{7} \cdot \frac{4}{9} \cdot 63 = 8 \]
      Ответ: 8.
4. Построим графики $y = |x + 2| + |2x - 6| - 8$ и $y = 7 - |x - t|$, где $t = \min f(x)$.
   Анализ функции $f(x)$:
   Раскроем модули:
   • При $x < -2$: $f(x) = -x - 2 - 2x + 6 -8 = -3x -4$
   • При $-2 \le x < 3$: $f(x) = x + 2 - 2x + 6 -8 = -x$
   • При $x \ge 3$: $f(x) = x + 2 + 2x -6 -8 = 3x -12$
   Минимум достигается при $x = 3$: $t = f(3) = 3 \cdot 3 -12 = -3$. График $y = 7 - |x + 3|$ (так как $t = -3$).
   Их пересечения будут в точках $x = -7$, $x = 1$. Площадь между фигурами на отрезке $[-7, 1]$: \[ \int_{-7}^{1} (7 - |x + 3| - (-x)) \, dx + \int_{1}^{3} (7 - |x + 3| - (3x -12)) \, dx = 24 + 4 = 28 \]
   Ответ: Площадь 28.
5. Решите уравнение: \[ \frac{\sqrt{x^2 + 2ax + a^2} + \sqrt{x^2 - 6ax + 9a^2} - 4a}{\sqrt{4 - x^2}} = 0 \]
   Решение: ОДЗ: $4 - x^2 > 0 \Rightarrow |x| < 2$.
   Упростим числитель: \[ |x + a| + |x - 3a| - 4a = 0 \] Рассмотрим случаи расположения $x$ относительно $-a$ и $3a$.
   При $-a \le x \le 3a$: \[ x + a + 3a -x -4a = 0 \Rightarrow 0 = 0 \quad \text{(тождество)} \] Учитывая ОДЗ $(|x| < 2)$, интервал решений: $\max(-a, -2) \le x \le \min(3a, 2)$. Для отрезкового решения будем требовать $-a \le 3a \Rightarrow a \ge 0$.
   Ответ: $a \ge 0.5$.