Лицей НИУ ВШЭ из 9 в 10 класс 2024 год

1. (0,5 балла) Найдите значение выражения \[ 12,8 \cdot 0,25 \cdot \bigl(\tfrac{3}{8} - 1\bigr). \]
2. (1 балл) Решите уравнение \[ \frac{x^2 - x - 6}{x^2 - 2x - 8} = 2. \]
3. (1 балл) Периметр ромба равен 52, а одна из его диагоналей равна 10. Найдите площадь ромба.
4. (1 балл) Три круассана на 30% дороже двух круассанов и стакана кофе. Найдите цену круассана, если стакан кофе стоит 40 рублей. Ответ дайте в рублях.
5. (1 балл) Таня вязала платок. Сумма петель в первом и десятом рядах оказалась равной 482. Сколько петель в 11‑м ряду, если в каждом ряду Таня делала на две петли меньше, чем в предыдущем?
6. (1 балл) Укажите сумму целых значений аргумента, входящих в область определения функции \[ f(x) = \frac{\sqrt{28 - 3x - x^2}}{(\lvert x\rvert - 4)\,(x + 9)}. \]
7. (1 балл) Найдите значение выражения \[ \frac{a\sqrt{a} - 1}{(\sqrt{a} - 1)^2 + 3\sqrt{a}}\;\bigl(\sqrt{a} + 1\bigr) \] при \(a = 2{,}7\).
8. (1 балл) Миша, Коля и Вася вместе выполняют некоторую работу за 4 дня. Миша и Коля вдвоём — за 6 дней, а Миша и Вася — за 8 дней. Во сколько раз производительность Коли выше, чем производительность Вася?
9. (1 балл) В треугольнике \(ABC\), площадь которого равна 68, проведены высота \(BH\) и медиана \(AM\). Расстояние между точками \(H\) и \(M\) равно 8. Найдите расстояние от точки \(A\) до прямой \(BC\).
10. (1,5 балла) На доске написано пятизначное число, в котором все цифры различны и нечётны. Если поменять местами первую и последнюю цифры числа, то оно будет делиться на 25, а если вычеркнуть вторую цифру, то оно будет делиться на 3. Какое число записано на доске, если известно, что оно оканчивается не на 9?

Решения задач

1. Найдите значение выражения: \[ 12,8 \cdot 0,25 \cdot \bigl(\tfrac{3}{8} - 1\bigr). \] Решение: \[ 12{,}8 \cdot 0{,}25 \cdot \left(\tfrac{3}{8} - 1\right) = 12{,}8 \cdot 0{,}25 \cdot \left(-\tfrac{5}{8}\right) = 3{,}2 \cdot \left(-\tfrac{5}{8}\right) = -2. \] Ответ: $-2$.
   
   
2. Решите уравнение: \[ \frac{x^2 - x - 6}{x^2 - 2x - 8} = 2. \] Решение: \[ x^2 - x - 6 = 2(x^2 - 2x - 8), \quad -x^2 + 3x + 10 = 0, \quad x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 40}}{-2} = 5 \text{ или } -2. \] Проверка корней: $x = -2$ обращает знаменатель в ноль. Ответ: $5$.
   
   Ответ: 5.
   
   
3. Периметр ромба равен 52, а одна из его диагоналей равна 10. Найдите площадь ромба. Решение: \[ \text{Сторона ромабомострая: } a = \frac{52}{4} = 13. \quad \text{Половина диагонали: } \frac{d_1}{2} = 5. \] По теореме Пифагора: $\left(\frac{d_2}{2}\right)^2 + 5^2 = 13^2 \Rightarrow \frac{d_2}{2} = 12 \Rightarrow d_2 = 24.$ \[ S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = \frac{10 \cdot 24}{2} = 120. \] Ответ: 120.
4. Три круассана на 30% дороже двух круассанов и стакана кофе. Найдите цену круассана, если стакан кофе стоит 40 рублей. Решение: \[ 3x = 1{,}3(2x + 40) \Rightarrow 3x = 2{,}6x + 52 \Rightarrow 0{,}4x = 52 \Rightarrow x = 130. \] Ответ: 130 рублей.
5. Таня вязала платок. Сумма петель в первом и десятом рядах оказалась равной 482. Сколько петель в 11-м ряду? Решение: \[ a_1 + a_{10} = a_1 + (a_1 + 9 \cdot (-2)) = 2a_1 - 18 = 482 \Rightarrow a_1 = 250. \] \[ a_{11} = a_{10} - 2 = (250 - 18) - 2 = 230. \] Ответ: 230.
6. Укажите сумму целых значений аргумента, входящих в область определения функции: \[ f(x) = \frac{\sqrt{28 - 3x - x^2}}{(|x| - 4)(x + 9)}. \] Решение: \[ -x^2 - 3x + 28 \geq 0 \Rightarrow x \in [-7; 4]. \quad |x| \neq 4 \Rightarrow x \neq \pm4. \quad x \neq -9. \] Целые значения: $-7, -6, -5, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3$. Сумма: $-18$. Ответ: $-18$.
7. Найдите значение выражения: \[ \frac{a\sqrt{a} - 1}{(\sqrt{a} - 1)^2 + 3\sqrt{a}} \cdot (\sqrt{a} + 1) \] при $a = 2{,}7$. Решение: \[ \text{Подстановка } t = \sqrt{a} \Rightarrow \text{Упрощение: } \frac{t^3 - 1}{(t - 1)^2 + 3t} \cdot (t + 1) = t^2 - 1. \] При $t = \sqrt{2{,}7}$: $t^2 - 1 = 2{,}7 - 1 = 1{,}7$. Ответ: 1,7.
8. Миша, Коля и Вася вместе выполняют работу за 4 дня. Миша и Коля — за 6 дней, а Миша и Вася — за 8 дней. Во сколько раз производительность Коли выше Вани? Решение: \[ \begin{cases} \frac{1}{M} + \frac{1}{K} + \frac{1}{V} = \frac{1}{4} \\ \frac{1}{M} + \frac{1}{K} = \frac{1}{6} \\ \frac{1}{M} + \frac{1}{V} = \frac{1}{8} \end{cases} \Rightarrow \frac{K}{V} = 2{,}5. \] Ответ: в 2,5 раза.
9. В треугольнике $ABC$, площадь которого равна 68, проведены высота $BH$ и медиана $AM$. Расстояние между точками $H$ и $M$ равно 8. Найдите расстояние от точки $A$ до прямой $BC$. Решение: \[ S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_A = 68 \Rightarrow BC \cdot h_A = 136. \quad HM = 8 \Rightarrow h_A = 17. \] Ответ: 17.
10. На доске написано пятизначное число, в котором все цифры различны и нечётны. Если поменять местами первую и последнюю цифры, оно делится на 25. Если вычеркнуть вторую цифру, оно делится на 3. Число не оканчивается на 9. Какое число? Решение: Число: $75135$. При замене первой и последней цифры получается $55137$, которое не делится на 25. Возмо ошибка в расчётах. Верное число:$15975$ проверить impossible но такая вероятно ответ -13795 Ответ: 15975 ?
    Ответ: Ответ скрыт из-за ошибки, правильное решение требует проверки.