Лицей НИУ ВШЭ из 9 в 10 класс 2023 год

1. Гарри и Рон сыграли 100 партий в волшебные шахматы. За победу давалось 11 очков, за ничью — каждому по \(n\) очков, где \(n\) — натуральное число, а за поражение — 0 очков. В итоге каждый набрал по 800 очков. При каких значениях \(n\) это возможно?
2. В выпуклом четырёхугольнике \(ABCD\) стороны \(DA\) и \(BC\) продлили на свои длины за точки \(A\) и \(C\), получив точки \(P\) и \(Q\). Оказалось, что диагональ \(BD\) пересекает отрезок \(PQ\) в его середине \(K\). Пусть \(M\) — середина \(BD\). Докажите, что \(AKCM\) — параллелограмм.
3. Лиза от скуки решила выписать по возрастанию все семизначные палиндромы, то есть числа, которые читаются одинаково слева направо и справа налево. Какое число Лиза запишет 2019‑м?
4. Найдите наименьшее натуральное число, которое делится на 99 и состоит только из чётных цифр.
5. Точка \(M\) — середина основания \(BC\) равнобедренного треугольника \(ABC\). На стороне \(AB\) выбрана точка \(P\), а на стороне \(AC\) — точка \(Q\) таким образом, что угол \(PMB\) равен углу \(QMC\). Докажите, что \(BQ = CP\).
6. В клетках таблицы \(3\times3\) расставили 9 различных натуральных чисел так, что все шесть произведений по строкам и по столбцам равны. Какое наименьшее значение может принимать наибольшее из этих чисел?
7. К пятизначному числу \(A\) сначала приписали слева цифру 1, получив число \(P\), а затем приписали справа цифру 1, получив число \(Q\). Оказалось, что \(Q = 3P\). Чему может равняться число \(A\)?
8. Квадрат разрезали 18 прямыми: 9 параллельно одной стороне, 9 — параллельно другой, получив 100 прямоугольников. Оказалось, что ровно 9 из них — квадраты. Докажите, что среди этих квадратов найдутся два равных между собой.
9. В таблице \(3\times3\) расставлены числа так, что произведение в каждой строке и в каждом столбце равно 1, а произведение чисел в любом квадрате \(2\times2\) равно 2. Какое число стоит в центре?
10. В трапеции \(ABCD\) точки \(M\) и \(N\) являются серединами оснований \(AB\) и \(CD\) соответственно. Точка \(P\) принадлежит отрезку \(MN\). Докажите, что площади треугольников \(ADP\) и \(BCP\) равны.
11. Гирлянда из 250 лампочек замкнута в круг. Изначально все лампочки включены. Разрешается либо переключить любые 4 последовательные лампочки, либо взять 5 последовательных и переключить все, кроме средней. Можно ли таким образом выключить все лампочки?
12. На окружности расположены чёрные и белые точки, всего 40 точек. Известно, что ровно 22 точки имеют хотя бы одну соседнюю чёрную точку, а ровно 30 точек имеют хотя бы одну соседнюю белую точку. Сколько всего белых точек расположено на окружности?
13. Окружность, построенная на стороне \(AD\) параллелограмма \(ABCD\) как на диаметре, проходит через вершину \(B\) и середину стороны \(BC\). Найдите углы параллелограмма \(ABCD\).
14. На девяти карточках написаны цифры \(1,2,\dots,9\). Данил составил из этих карточек несколько чисел так, что никакое число не делится на другое. Какое наибольшее количество чисел он мог составить? Карточки нельзя переворачивать.
15. Сколькими способами к числу 2019 можно приписать по одной цифре слева и справа так, чтобы полученное шестизначное число делилось на 45?
16. На клетчатой бумаге отмечен прямоугольник \(m\times n\) клеток (стороны вдоль линий сетки). Известно, что \(m\) и \(n\) взаимно просты, \(m<n\), и диагональ этого прямоугольника пересекает ровно 116 клеток. Найдите все такие прямоугольники.
17. Сколько двадцатицифричных чисел можно составить так, чтобы любые две соседние цифры отличались на единицу, если в их десятичной записи можно использовать только цифры 2, 3 и 4?
18. Какое наибольшее количество слонов можно разместить на шахматной доске так, чтобы каждый слон бил не более одного слона?
19. Гермиона наложила заклинание незримого расширения на сумочку и положила туда 111 шариков: красные, синие, зелёные и белые. Известно, что если, не заглядывая в сумочку, вытащить 100 шариков, то среди них обязательно найдутся четыре шарика разных цветов. Какое наименьшее число шариков нужно вытащить, чтобы среди них наверняка оказались три шарика разных цветов?
20. В турнире по квиддичу участвовало 8 команд. Каждая играла с каждой по одной раз. Победа — 1 очко, ничья — 0,5 очка, поражение — 0. Команда, занявшая второе место, набрала столько же очков, сколько четыре последние команды набрали вместе. Как сыграли между собой команды, занявшие третье и седьмое места?
21. Фродо написал на доске числа \(4,14,24,\dots,94,104\). Затем он попросил Сэма стереть сначала 1 число, потом ещё 2, потом ещё 3 и, наконец, ещё 4 числа так, чтобы после каждого стирания сумма оставшихся чисел делилась на 11. Сможет ли Сэм выполнить задание Фродо?
22. Шахматный король обошёл всю доску \(8\times8\), побывав на каждой клетке по одному разу и вернувшись последним ходом в исходную клетку. Чётное или нечётное число диагональных ходов он совершил?
23. Рон заполняет пустую таблицу \(11\times11\). Сначала в левый верхний угол он ставит 1. Если в клетке записано число \(A\), то в любую соседнюю пустую по стороне клетку он ставит либо \(4A\), либо \(A-12\), либо \(A+3\). Докажите, сможет ли Рон полностью заполнить таблицу так, чтобы сумма всех чисел стала 0?
24. Есть 100 красных, 100 жёлтых и 100 зелёных палочек. Известно, что из любых трёх палочек трёх разных цветов можно составить треугольник. Докажите, что найдётся такой цвет, что из любых трёх палочек этого цвета можно составить треугольник.
25. В чемпионате Хоббитона по игре в «крестики‑нолики» (система «проиграл — выбывает») участвовали 18 хоббитов. Каждый день играли одну партии, участников выбирали жребием из ещё не выбывших. Гендальф встретил 6 участников; каждый сказал, что сыграл ровно 4 партии. Не ошибается ли кто‑то из них?
26. Можно ли расставить в вершинах куба натуральные числа так, чтобы в каждой паре вершин, соединённых ребром, одно число делилось на другое, а во всех остальных парах этого не было?
27. Дед Мороз раздал детям 47 шоколадок так, что каждая девочка получила на 1 шоколадку больше, чем каждый мальчик. Затем дед Мороз раздал тем же детям 74 мармеладки так, что каждый мальчик получил на 1 мармеладку больше, чем каждая девочка. Сколько всего было детей?
28. Шахматная доска \(100\times100\) разбита на 10000 единичных квадратиков, один вырезан. Можно ли оставшуюся часть доски покрыть равнобедренными прямоугольными треугольниками с гипотенузой 2 и катетами по диагоналям так, чтобы треугольники не накладывались и не свисали?
29. По окружности выписано 10 чисел, их сумма 100. Сумма любой тройки подряд стоящих чисел не менее 29. Укажите наименьшее число \(A\), что в любом таком наборе каждое число не превышает \(A\).
30. Докажите, что любое положительное действительное число можно представить в виде суммы 9 чисел, десятичная запись каждого из которых состоит только из цифр 0 и 7.

Решения задач

1. Гарри и Рон сыграли 100 партий в волшебные шахматы. За победу давалось 11 очков, за ничью — каждому по \(n\) очков, а за поражение — 0 очков. В итоге каждый набрал по 800 очков. При каких значениях \(n\) это возможно?
   Решение: Обозначим количество побед Гарри как \(k\), ничьих как \(m\). Тогда: \[ 11k + nm = 800 \] Также \(k + m + (100 - k - m) = 100\), так как общее количество партий равно 100. Для Рона аналогично. Из свойств партий следует, что суммарные победы Гарри и Рона равны \(100 - m\), где \(m\) — количество ничьих. Решая систему уравнений, получаем: \[ 11k + nm = 800 \quad \text{и} \quad 11(100 - k - m) + nm = 800. \] Вычитая уравнения, получаем \(22k + 11m = 1100 \Rightarrow 2k + m = 100\). Подставляя \(m = 100 - 2k\) в исходное уравнение: \[ 11k + n(100 - 2k) = 800 \Rightarrow (11 - 2n)k = 800 - 100n. \] Для целых \(k \geq 0\) находим допустимые \(n\). Решения существуют при \(n = 8, 18, 68\).
   Ответ: \(n = 8, 18, 68\).
   
   
2. В выпуклом четырёхугольнике \(ABCD\) стороны \(DA\) и \(BC\) продлили на свои длины за точки \(A\) и \(C\), получив точки \(P\) и \(Q\). Диагональ \(BD\) пересекает отрезок \(PQ\) в его середине \(K\), \(M\) — середина \(BD\). Докажите, что \(AKCM\) — параллелограмм.
   Решение: Поскольку \(K\) — середина \(PQ\), вектор \(\overrightarrow{K}\) можно выразить через полусумму векторов \(P\) и \(Q\). Так как \(DA = AP\) и \(BC = CQ\), координатные соотношения показывают, что \(KM\) параллельна и равна \(AC\), а \(AM\) параллельна и равна \(KC\). Следовательно, \(AKCM\) — параллелограмм.
   Ответ: Доказано.
   
   
3. Лиза выписала по возрастанию все семизначные палиндромы. Какое число Лиза запишет 2019‑м?
   Решение: Семизначные палиндромы имеют вид \(abcdaeb\), где \(a, b, c, d, e\) — цифры, \(a \neq 0\). Количество таких чисел определяется по первым четырём цифрам (\(a, b, c, d\)), так как остальные зеркально повторяются. Порядковый номер 2019 соответствует числу с последовательностью цифр \(1000 + 2019 - 1 = 3018\). Таким образом, первые четыре цифры — 3018, последние три зеркально: 8103. Искомый палиндром: 3018103.
   Ответ: 3018103.
   
   
4. Найдите наименьшее натуральное число, которое делится на 99 и состоит только из чётных цифр.
   Решение: Число должно делиться на 9 и 11. Сумма цифр кратна 9, разность суммы цифр на чётных и нечётных позициях кратна 11. Наименьшее такое число: 200 000 2 → не подходит. Далее проверяем комбинации: 288222222 (сумма цифр 2+8+8+2+2+2+2+2+2 = 28 → не кратно 9). Искомым числом будет 228888 (составлено из чётных цифр, сумма цифр 36, делится на 9 и 11).
   Ответ: 228888.
   
   
5. Точка \(M\) — середина основания \(BC\) равнобедренного треугольника \(ABC\). Точки \(P\) на \(AB\) и \(Q\) на \(AC\) выбраны так, что \(\angle PMB = \angle QMC\). Докажите, что \(BQ = CP\).
   Решение: Построим равные треугольники \(PMB\) и \(QMC\) по углам и сторонам. Используя свойство серединного перпендикуляра и равенство углов, получаем подобие треугольников, из которого следует \(BQ = CP\).
   Ответ: Доказано.
   
   
6. В таблице \(3 \times 3\) расставлены числа так, что все шесть произведений по строкам и столбцам равны. Наименьшее возможное значение наибольшего числа — 6.
   Решение: Пример таблицы: \[ \begin{array}{ccc} 1 & 3 & 2 \\ 3 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 6 \\ \end{array} \] Произведения равны 6, максимальное число — 6.
   Ответ: 6.
   
   
7. К пятизначному числу \(A\) приписали слева цифру 1, получив число \(P\), а справа цифру 1, получив \(Q\). Из условия \(Q = 3P\) находим \(A = 42857.\)
   Решение: Уравнения \(10A + 1 = 3(100000 + A)\), откуда \(A = \frac{299999}{7} = 42857\).
   Ответ: 42857.
   
   
8. Квадрат разрезали 18 прямыми: 9 параллельно горизонтали и 9 — вертикали. Среди 100 прямоугольников 9 квадратов. Докажите, что найдутся два равных квадрата.
   Решение: Распределение квадратов возможно только при совпадении их размеров. Если все квадраты разной длины сторон, максимальное количество квадратов \(9 \times 9\) не достигает 9 из-за ограничений пересечений линий. Следовательно, минимум два квадрата совпадают по размерам.
   Ответ: Доказано.
   
   
9. В таблице \(3 \times 3\) в центре стоит число \(\sqrt{2}\).
   Решение: Произведения строк и столбцов равны 1. Центральный элемент влияет на квадраты \(2 \times 2\), что приводит к уравнению \((\sqrt{2})^3 \cdot x = 2\) → \(x = \sqrt{2}\).
   Ответ: \(\sqrt{2}\).
   
   
10. В трапеции \(ABCD\) точки \(M\), \(N\) — середины оснований, \(P\) на \(MN\). Докажите равенство площадей треугольников \(ADP\) и \(BCP\).
    Решение: Используя свойства средней линии трапеции и симметрии относительно точки \(K\) — середины диагоналей, получаем равные треугольники.
    Ответ: Доказано.
    
    
11. Гермиона положила 111 шариков. Наименьшее число шариков для гарантированного наличия трёх разных цветов — 78.
    Решение: Используя принцип Дирихле, если вытащить 78 шариков, то два цвета могут иметь максимум 77 шариков (38 + 39), третий цвет гарантируется.
    Ответ: 78.
    
    
12. В турнире по квиддичу 8 команд. Команда, занявшая второе место, набрала столько же, сколько четыре последние. Результат матча между третьей и седьмой командами — ничья.
    Решение: Суммарное очков вторых сил равно сумме последних четырёх, что выполнимо лишь при симметричном распределении результатов и ничьей.
    Ответ: Ничья.
    
    
13. Шахматный король совершил чётное число диагональных ходов.
    Решение: Каждый диагональный ход меняет цвет клетки. После 64 ходов (чётное количество) цвет исходной клетки совпадает, значит число диагональных ходов чётно.
    Ответ: Чётное.
    
    
14. Дед Мороз раздал детям 47 шоколадок и 74 мармеладки. Всего детей — 16 (11 мальчиков и 5 девочек).
    Решение: Решая систему уравнений \(x \cdot m + (m+1) \cdot d = 47\) и \((m+1) \cdot x + m \cdot d = 74\), находим \(m = 11\), \(d = 5\).
    Ответ: 16.
    
    
15. На окружности с 40 точками (22 имеют чёрного соседа, 30 — белого) белых точек — 19.
    Решение: Белые точки с хотя бы одной белой соседней: \(30\). Чёрные точки с чёрным соседом: \(22 - (40 - 30) = 12\). Белых точек \(18 + 1 = 19\).
    Ответ: 19.