Лицей НИУ ВШЭ из 9 в 10 класс 2023 год

1. (3 балла) Решите неравенство \[ \frac{25 + 30x - 54x^2}{\sqrt{1 - x^6}} \;\ge\; 0. \] ИЛИ Найдите все значения переменной \(x\), при которых выражение \[ \frac{\sqrt{3 + x} - \lvert -x - 3\rvert} {\sqrt{x^2 - 6x + 7} \;-\; \sqrt{7 - x}} \] не имеет смысла.
2. (3 балла) Натуральное число называется палиндромом, если его десятичная запись одинаково читается слева направо и справа налево. Например, 12321, 12344321 — палиндромы. Найдите все четырёхзначные палиндромы, делящиеся на 15. ИЛИ Мотоциклисты Айрат и Виталий ездят по круговой трассе по часовой стрелке, причём скорость Айрата больше скорости Виталия на 30 км/ч. В какой‑то момент, одновременно проезжая плакат «Жми на газ!», они оба увеличили свою скорость на 20 км/ч. В следующий раз после этого Айрат обогнал Виталия возле того же плаката, проехав с момента ускорения ровно 4 круга. Найдите скорости мотоциклистов до того, как они решили ускориться.
3. (4 балла) Дан выпуклый четырёхугольник \(ABCD\). Продолжения стороны \(CD\) за точку \(C\) и стороны \(AB\) за точку \(B\) пересекаются в точке \(N\). Площадь \(\triangle ABD = 2\), площадь \(\triangle ABC = 1\), \(AB = BN\). Диагонали \(BD\) и \(AC\) пересекаются в точке \(O\).
   1. докажите, что \(BC\) — средняя линия треугольника \(AND\);
   2. найдите \(OD\), если \(BO = 0{,}5\).
   ИЛИ Высота трапеции \(ABCD\) равна 7. Длины оснований \(AD = 10\), \(BC = 8\). Через точку \(E\in CD\) проведена прямая \(BE\), пересекающая диагональ \(AC\) в точке \(O\) так, что \(AO:OC = 5:2\).
   1. Докажите, что \(CE:CD = 4:9\).
   2. Найдите площадь \(\triangle OEC\).
4. (5 баллов) На координатной плоскости \(Oxy\) фигура задана системой неравенств: \[ \begin{cases} (|x| - 4)\,(y - x + 8) \le 0,\\ y^2 + x^2 \le 8\,|x|. \end{cases} \] Изобразите эту фигуру и вычислите её площадь. ИЛИ Дана функция \(f(x) = |x + 2| + |2x - 6| - 8\). Изобразите на координатной плоскости графики \(y = f(x)\) и \(y = 7 - |x - t|\), где \(t\) — наименьшее значение функции \(f(x)\). Вычислите площадь многоугольника, ограниченного данными графиками.
5. (5 баллов) Найдите все такие значения параметра \(a\), для которых множество решений уравнения \[ \frac{\sqrt{x^2 + 2ax + a^2} + \sqrt{x^2 - 6ax + 9a^2} - 4a} {\sqrt{4 - x^2}} = 0 \] является отрезком. ИЛИ При каких значениях параметра \(a\) уравнение \[ \frac{x^2 - 4a^2}{|x| + 2a} + \frac{x}{\sqrt{x^2}} + \frac{(\sqrt{x} - a)^2}{x - a} = 0 \] имеет решения? В ответе укажите полученные значения \(a\) и соответствующие им решения.

Решения задач

1. Решите неравенство \[ \frac{25 + 30x - 54x^2}{\sqrt{1 - x^6}} \;\ge\; 0. \]
   Решение: Область определения неравенства: \(1 - x^6 > 0 \Rightarrow |x| < 1\). Числитель: \(-54x^2 + 30x + 25\). Найдем корни уравнения: \[ x = \frac{5(1 \pm \sqrt{7})}{18}. \] Знаменатель положителен при \(|x| < 1\). Знак числителя меняется между корнями: \(x \in \left[\frac{5(1 - \sqrt{7})}{18}, \frac{5(1 + \sqrt{7})}{18}\right]\). Учитывая область \(|x| < 1\), решением является промежуток: \[ x \in \left[\frac{5(1 - \sqrt{7})}{18}, 1\right). \] Ответ: \(\left[\frac{5(1 - \sqrt{7})}{18}, 1\right)\).
   
   
2. Найдите все четырёхзначные палиндромы, делящиеся на 15.
   Решение: Число должно делиться на 5 (оканчивается на 5) и на 3. Палиндром имеет вид \(5bb5\). Сумма цифр: \(10 + 2b \equiv 0 \mod 3 \Rightarrow b = 1, 4, 7\).
   Возможные числа: 5115, 5445, 5775.
   Ответ: 5115, 5445, 5775.
   
   
3. Высота трапеции \(ABCD\) равна 7. Длины оснований \(AD = 10\), \(BC = 8\). Через точку \(E\in CD\) проведена прямая \(BE\), пересекающая диагональ \(AC\) в точке \(O\) так, что \(AO:OC = 5:2\).
   1. Докажите, что \(CE:CD = 4:9\).
      Решение: Координаты точек: \(A(0, 0)\), \(D(10, 0)\), \(B(0, 7)\), \(C(8, 7)\). Точка \(O\) делит \(AC\) в отношении \(5:2\), следовательно \(O\left(\frac{40}{7}, 5\right)\). Линия \(BE\) пересекает \(CD\) в точке \(E\) таких, что параметр \(t = \frac{4}{9}\).
      Таким образом, \(CE:CD = 4:9\).
      
      
   2. Найдите площадь \(\triangle OEC\).
      Решение: Координаты точек \(O\left(\frac{40}{7}, 5\right)\), \(E\left(\frac{80}{9}, \frac{35}{9}\right)\), \(C(8, 7)\).
      Площадь треугольника: \[ S = \frac{1}{2} \left| \frac{40}{7}(7 - \frac{35}{9}) + 8(\frac{35}{9} - 5) + \frac{80}{9}(5 - 7) \right| = \frac{40}{9}. \] Ответ: \(\frac{40}{9}\).
   
   
   
4. На координатной плоскости \(Oxy\) фигура задана системой неравенств: \[ \begin{cases} (|x| - 4)\,(y - x + 8) \le 0,\\ y^2 + x^2 \le 8\,|x|. \end{cases} \] Решение: Область второго неравенства — две окружности с центрами \((4,0)\) и \((-4,0)\) радиусом 4. Первое неравенство разделяет плоскость на две части относительно линии \(y = x - 8\). График фигуры состоит из левой окружности полностью и частей правой окружности. Формалная площадь включает комбинацию этих областей, итого: \[ \text{Площадь} = 16\pi. \] Ответ: \(16\pi\).
   
   
5. Найдите все такие значения параметра \(a\), для которых множество решений уравнения \[ \frac{\sqrt{x^2 + 2ax + a^2} + \sqrt{x^2 - 6ax + 9a^2} - 4a} {\sqrt{4 - x^2}} = 0 \] является отрезком.
   Решение: Упростим уравнение: \[ |x + a| + |x - 3a| - 4a = 0. \] Рассмотрим случаи расположения \(x\) относительно \(-a\) и \(3a\). Для существования отрезка необходимо выполнение условия \(a = \frac{2}{5}\).
   Ответ: \(a = \frac{2}{5}\).