Лицей НИУ ВШЭ из 9 в 10 класс 2023 демо

1. (0,5 балла) Вычислите: \[ 58\;\cdot\!\Bigl(\,(2\tfrac{1}{14})^{-2} \;-\;(11\tfrac{4}{15})^{-2}\Bigr). \] или Найдите значение выражения \(( -6)^t\), если \(t = \tfrac{11}{6}\); \((2,65:2,5-1,1)\).
2. (0,5 балла) Решите уравнение \[ \frac{7}{x^2 + 3x - 4} \;-\; \frac{3x + 6}{x^2 + x - 2} \;=\; \frac{1}{1 - x}. \] Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите наименьший из них. или Решите неравенство \[ \bigl(\sqrt{x + 2} + 1\bigr)\,\bigl(7,3x - 20\bigr)\le 0. \] В ответе укажите количество целых чисел, являющихся решениями неравенства.
3. (0,5 балла) В параллелограмме \(MFKT\) угол \(T\) равен \(135^\circ\), а диагональ \(FT\) перпендикулярна стороне \(FK\), которая равна 14. Найдите площадь параллелограмма \(MFKT\). или Треугольник \(MPK\) равнобедренный. Известно, что \(MK\) — основание, угол при котором равен \(75^\circ\). Найдите длину стороны \(MP\), если высота, проведённая к этой стороне, равна 18.
4. (0,5 балла) Ежемесячный доход семьи равен 95000 руб. Известно, что 40% этой суммы составляет зарплата Татьяны. В результате кризиса её зарплата снизилась на 10\%. На сколько процентов снизился общий доход семьи, если доходы остальных членов не изменились? или Динара и Карим состязались в беге на 1 км. Динара опередила Карима на 90 с, но если бы Карим бежал в 1{,}5 раз быстрее, он опередил бы Динару на 1 мин. С какой скоростью бежала Динара? Ответ дайте в км/ч.
5. (1 балл) Найдите сумму всех трёхзначных чисел, которые при делении на 3 дают остаток 1, а при делении на 4 — остаток 2. или Миша начал читать книгу. Каждый день он читал в два раза меньше страниц, чем в предыдущий, и прочитал книгу за 6 дней. Сколько страниц он прочитал на третий день, если всего в книге 189 страниц?
6. (1 балл) Найдите сумму всех целых значений \(x\), входящих в область определения функции \[ f(x) = \sqrt{9 - x}\,\lvert x\rvert \;+\; \sqrt{\frac{\sqrt{5} - 3}{10x^2 - 11x - 62}}. \] или Найдите наибольшее значение функции \[ f(x) = 2 + \frac{1}{x + 2} \] при условии, что аргумент \(x\) принимает значения из области определения функции \[ g(x) = \sqrt{(x + 5)(x + 2)} + \sqrt{x + 1}. \]
7. (1 балл) Найдите значение выражения \[ \sqrt{18}\,(\sqrt{x} - 3)\,\sqrt{2x + 18} \;+\;12\sqrt{x}\;-\;6x \] при \(x = 0{,}15\). или Найдите значение выражения \[ \frac{\sqrt{3a} - (1 + 3\sqrt{3})\sqrt{ab} + 3b} {\sqrt{a + 9b - 6\sqrt{ab}}} \;-\;\sqrt{b} \] при \(a = 27\), \(b = 5\).
8. (1,5 балла) Замените буквы цифрами (одинаковые буквы — одинаковые цифры, разные — разные), чтобы разность \[ \text{ЛИЦЕЙ} - \text{ОГОНЬ} \] приняла наибольшее возможное значение. В ответе укажите это значение. или В конкурсе по поеданию булочек участвовало 5 человек. Все съели разное число булочек, причём хотя бы одну. При опросе они назвали различные суммы от 11 до 15, причём победитель назвал число, завышенное на 1, второй — на 2, третий — на 3, четвёртый — на 4, пятый — на 5. Сколько булочек съел победитель?
9. (1,5 балла) Окружность радиуса \(3{,}5\) вписана в треугольник \(KLT\) и касается \(KT\) и \(KL\) в точках \(A\) и \(B\). Известно, что \(TA:AK = 1:2\), \(KB:BL = 2:3\). Найдите наибольший возможный периметр \(\triangle KLT\). или В треугольнике \(PKT\) со сторонами \(PK=12\), \(PT=15\), \(KT=18\) проведена биссектриса \(PF\). Окружность, описанная около \(\triangle PKF\), пересекает сторону \(PT\) в точке \(M\). Найдите периметр \(\triangle MFT\).
10. (2 балла) Найдите все значения параметра \(a\), при которых уравнение \[ \frac{ax^2 + x - a - 1}{\sqrt{1 - x}} = 0 \] не имеет решений. В ответе запишите разность между наибольшим и наименьшим из таких \(a\). или Найдите значение параметра \(a\), при котором расстояние между точками, заданными системой \[ \begin{cases} y^2 - 4x + x^2 = 0,\\ 2y + a x - 3 = 0, \end{cases} \] будет наибольшим.

Решения задач

1. Найдите значение выражения \(( -6)^t\), если \(t = \tfrac{11}{6} \cdot (2,65:2,5 -1,1)\).
   Решение: Сначала найдём значение выражения в скобках: \[ 2,65 : 2,5 = 1,06 \quad \Rightarrow \quad 1,06 - 1,1 = -0,04 \] Тогда: \[ t = \frac{11}{6} \cdot (-0,04) = -\frac{11}{150} \] Теперь вычислим \((-6)^t\). Поскольку степень отрицательная и дробная, выражение не имеет действительных корней.
   Ответ: \(\text{Нет решения в действительных числах}\).
   
   
2. Решите уравнение \[ \frac{7}{x^2 + 3x - 4} - \frac{3x + 6}{x^2 + x - 2} = \frac{1}{1 - x}. \]
   Решение: Разложим знаменатели на множители: \[ x^2 +3x -4 = (x+4)(x-1), \quad x^2 +x -2 = (x+2)(x-1), \quad 1-x = -(x-1) \] Приведём уравнение к общему знаменателю \((x+4)(x-1)(x+2)\): \[ \frac{7(x+2) - (3x+6)(x+4)}{(x+4)(x-1)(x+2)} = \frac{-(x+2)(x+4)}{(x+4)(x-1)(x+2)} \] Упростим числитель: \[ 7(x+2) - (3x+6)(x+4) = (7x +14) - (3x^2 +18x +24) = -3x^2 -11x -10 \] Получаем уравнение: \[ -3x^2 -11x -10 = -x^2 -6x -8 \quad \Rightarrow \quad 2x^2 +5x +2 =0. \] Корни: \[ D = 25 -16 =9 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{-5 \pm3}{4} \quad \Rightarrow \quad x=-2,\; -\frac{1}{2} \] Проверка показывает, что \(x=-2\) не подходит (обращает знаменатели в ноль).
   Ответ: \(-\frac{1}{2}\).
   
   
3. В параллелограмме \(MFKT\) угол \(T\) равен \(135^\circ\), диагональ \(FT\) перпендикулярна стороне \(FK\), которая равна 14. Найдите площадь параллелограмма.
   Решение: Так как диагональ \(FT \perp FK\), треугольник \(FKT\) прямоугольный с катетом \(FK=14\) и углом \(\angle K =45^\circ\). Следовательно, \(KT = FK \cdot \sqrt{2} =14\sqrt{2}\). Площадь параллелограмма: \[ S = FK \cdot KT \cdot \sin135^\circ =14 \cdot 14\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 196 \] Ответ: 196.
   
   
4. Ежемесячный доход семьи — 95000 руб. Зарплата Татьяны составляет 40% от этой суммы. После снижения зарплаты на 10\%, новый доход семьи: \[ 95000 \cdot 0,6 + 95000 \cdot 0,4 \cdot 0,9 = 95000 \cdot (0,6 +0,36) = 95000 \cdot 0,96 = 91200 \] Процент снижения: \[ \frac{95000 -91200}{95000} \cdot 100% =4\%. \] Ответ: 4\%.
   
   
5. Найдите сумму всех трёхзначных чисел, которые при делении на 3 дают остаток 1, а при делении на 4 — остаток 2.
   Решение: Числа имеют вид \(12k +10\). Первое число 106 (при \(k=8\)), последнее 994 (при \(k=82\)). Всего чисел: \(82 -8 +1=75\). Сумма: \[ S = \frac{75}{2} \cdot (106 +994) =37,5 \cdot1100=41250 \] Ответ: 41250.
   
   
6. Найдите сумму всех целых значений \(x\), входящих в область определения функции: \[ f(x) = \sqrt{9 -x}|x| + \sqrt{\frac{\sqrt{5} -3}{10x^2 -11x -62}}. \] Решение: Условия определения: \[ 9 -x \geq0 \quad \Rightarrow \quad x \leq9, \] \[ \frac{\sqrt{5} -3}{10x^2 -11x -62} \geq0 \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} 10x^2 -11x -62 <0 \\ \sqrt{5} -3 <0 \end{cases} \Rightarrow \quad x \in \left(-\frac{13}{5}, 5\right). \] Пересечение: \(x \in \left(-\frac{13}{5},5\right)\). Целые значения: \(-2, -1,0,1,2,3,4\). Сумма: \((-2)+(-1)+0+1+2+3+4 =7\).
   Ответ: 7.
   
   
7. Найдите значение выражения: \[ \sqrt{18}\,(\sqrt{x} -3)\,\sqrt{2x +18} +12\sqrt{x} -6x \] при \(x=0,15\).
   Решение: Преобразуем выражение: \[ \sqrt{18}\cdot\sqrt{2x+18} \cdot (\sqrt{x} -3) +12\sqrt{x} -6x = (\sqrt{36x +324})(\sqrt{x}-3) +12\sqrt{x} -6x. \] При \(x=0,15\) вычисляем численно: \[ \sqrt{36 \cdot0,15 +324}= \sqrt{329,4} \approx18,15, \quad \sqrt{0,15} \approx0,387. \] После подстановки получаем \(\approx-18,15 \cdot2,613 +3,0 -0,9 =-50\).
   Ответ: -50.
   
   
8. Замените буквы цифрами, чтобы разность \(\text{ЛИЦЕЙ} - \text{ОГОНЬ}\) была наибольшей. Ответ: 76423.
   
   
9. Наибольший периметр треугольника \(KLT\) с вписанной окружностью радиуса \(3,5\) при заданных точках касания достигается при равнобедренном треугольнике. Периметр:
   \(KL + KT + LT = 2(TA + AK + KB + BL) =2(3,5 \cdot (\cot 0,5 \cdot135^\circ) +10,5)=56\).
   Ответ: 56.
   
   
10. Уравнение \(\frac{ax^2 +x -a -1}{\sqrt{1 -x}}=0\) не имеет решений, если числитель не имеет корней или корни не входят в ОДЗ \(x <1\). Решаем квадратное уравнение \(ax^2 +x -a -1=0\). Дискриминант: \(D=1 +4a(a +1)\). При \(a=-1\) уравнение становится линейным, не имеющим корней. При других \(a\) корни: \(x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{4a^2 +4a +1}}{2a}\). Исключаем корни \(\geq1\). \Наибольший \(a=1\), наименьший \(a=-1\). Разность: \(2\).
    Ответ: 2.