Лицей НИУ ВШЭ из 9 в 10 класс 2022 год

1. Гарри и Рон сыграли 100 партий в волшебные шахматы. За победу давалось 11 очков, на ничью — каждому по \(n\) очков, где \(n\) — натуральное число, а за поражение — 0 очков. В итоге каждый набрал по 800 очков. При каких значениях \(n\) это возможно?
2. В выпуклом четырёхугольнике \(ABCD\) стороны \(DA\) и \(BC\) продлили на свои длины за точки \(A\) и \(C\). Получили точки \(P\) и \(Q\). Оказалось, что диагональ \(BD\) пересекает отрезок \(PQ\) в его середине \(K\). Пусть \(M\) — середина \(BD\). Докажите, что \(AKCM\) — параллелограмм.
3. Лиза от скуки решила выписать по возрастанию все семизначные палиндромы, то есть числа, которые читаются одинаково слева направо и справа налево. Какое число Лиза запишет 2019‑м?
4. Найдите наименьшее натуральное число, которое делится на 99 и состоит только из чётных цифр.
5. Точка \(M\) — середина основания \(BC\) равнобедренного треугольника \(ABC\). На стороне \(AB\) выбрана точка \(P\), а на стороне \(AC\) — точка \(Q\) таким образом, что угол \(PMB\) равен углу \(QMC\). Докажите, что \(BQ = CP\).
6. В клетках таблицы \(3\times3\) расставили 9 различных натуральных чисел так, что все шесть произведений по строкам и столбцам равны. Какое наименьшее значение может принимать наибольшее из этих чисел?
7. К пятизначному числу \(A\) сначала приписали слева цифру 1, получив шестизначное число \(P\), а затем приписали справа цифру 1, получив шестизначное число \(Q\). Оказалось, что \(Q = 3P\). Чему может равняться число \(A\)?
8. Квадрат разрезали 18 прямыми: 9 параллельно одной стороне квадрата и 9 — параллельно другой, получив 100 прямоугольников. Оказалось, что ровно 9 из них — квадраты. Докажите, что среди этих квадратов найдутся два равных.
9. В таблице \(3\times3\) расставлены числа так, что произведение чисел в каждой строке и в каждом столбце равно 1, а произведение чисел в любом квадрате \(2\times2\) равно 2. Какое число стоит в центре?
10. В трапеции \(ABCD\) точки \(M\) и \(N\) являются серединами оснований \(AB\) и \(CD\) соответственно. Точка \(P\) принадлежит отрезку \(MN\). Докажите, что площади треугольников \(ADP\) и \(BCP\) равны.
11. Гирлянда состоит из 250 лампочек, замкнутых в круг. Изначально все лампочки включены. Разрешается либо переключить (включённую — выключить, выключенную — включить) любые 4 последовательные лампочки, либо взять 5 последовательных и переключить все, кроме средней. Можно ли отключить все лампочки таким образом?
12. На окружности расположены чёрные и белые точки, всего 40 точек. Известно, что ровно 22 точки имеют хотя бы одну соседнюю чёрную точку, а ровно 30 точек имеют хотя бы одну соседнюю белую точку. Сколько всего белых точек расположено на окружности?
13. Окружность, построенная на стороне \(AD\) параллелограмма \(ABCD\) как на диаметре, проходит через вершину \(B\) и середину стороны \(BC\). Найдите углы параллелограмма \(ABCD\).
14. На девяти карточках написаны цифры 1, 2, …, 9. Данил составил из этих карточек несколько чисел так, что никакое число не делится на другое. Какое наибольшее количество чисел он мог составить? Карточки переворачивать нельзя.
15. Сколькими способами к числу 2019 можно приписать по одной цифре слева и справа так, чтобы полученное шестизначное число делилось на 45?
16. На клетчатой бумаге отмечен прямоугольник \(m\times n\) клеток (стороны вдоль линий сетки). Известно, что числа \(m\) и \(n\) взаимно просты, \(m<n\), и диагональ этого прямоугольника пересекает ровно 116 клеток. Найдите все такие прямоугольники.
17. Сколько двадцатицифричных чисел можно составить так, чтобы любые две соседние цифры отличались на единицу, если в десятичной записи можно использовать только цифры 2, 3 и 4?
18. Какое наибольшее количество слонов можно разместить на шахматной доске так, чтобы каждый слон бил не более одного слона? Напомним, что слоны ходят по диагонали на любое число клеток.
19. Гермиона наложила заклинание незримого расширения на свою сумочку и положила туда 111 шариков: красные, синие, зелёные и белые. Известно, что если, не заглядывая в сумочку, вытащить 100 шариков, то среди них обязательно найдутся четыре шарика разных цветов. Какое наименьшее число шариков нужно вытащить, чтобы среди них наверняка оказались три шарика разных цветов?
20. В турнире по квиддичу участвовало 8 команд. Каждая играла с каждой по одной раз. Победа — 1 очко, ничья — 0,5 очка, поражение — 0. Команда, занявшая второе место, набрала столько же очков, сколько четыре последние команды набрали вместе. Как сыграли между собой команды, занявшие третье и седьмое места?
21. Фродо написал на доске числа 4, 14, 24, …, 94, 104. Затем он попросил Сэма стереть сначала 1 число, потом ещё 2, потом ещё 3 и, наконец, ещё 4 числа так, чтобы после каждого стирания сумма оставшихся на доске чисел делилась на 11. Сможет ли Сэм выполнить задание Фродо?
22. Шахматный король обошёл всю доску \(8\times8\), побывав на каждой клетке по одному разу и вернувшись последним ходом в исходную клетку. Чётное или нечётное число диагональных ходов он совершил?
23. Рон заполняет пустую таблицу \(11\times11\). Сначала в левый верхний угол таблицы он ставит 1. Если в клетке уже записано число \(A\), то в любую соседнюю по стороне пустую клетку он ставит либо \(4A\), либо \(A - 12\), либо \(A + 3\). Рон уверен, что ему удастся полностью заполнить таблицу таким образом и при этом сумма всех чисел в таблице будет равна 0. Прав ли Рон?
24. Есть 100 красных, 100 жёлтых и 100 зелёных палочек. Известно, что из любых трёх палочек трёх разных цветов можно составить треугольник. Докажите, что найдётся такой цвет, что из любых трёх палочек этого цвета можно составить треугольник.
25. В чемпионате Хоббитона по игре в «крестики‑нолики», проведённом по системе «проиграл — выбывает», участвовали 18 хоббитов. Каждый день хоббиты играли одну пару, участников которой выбирали жребием из ещё не выбывших. Гендальф встретил шестерых участников этой игры. Каждый из них сказал, что сыграл ровно 4 партии. Не ошибается ли кто‑то из них?
26. Можно ли расставить в вершинах куба натуральные числа так, чтобы в каждой паре вершин, соединённых ребром, одно число делилось на другое, а во всех остальных парах этого не было?
27. Дед Мороз раздал детям 47 шоколадок так, что каждая девочка получила на 1 шоколадку больше, чем каждый мальчик. Затем дед Мороз раздал тем же детям 74 мармеладки так, что каждый мальчик получил на 1 мармеладку больше, чем каждая девочка. Сколько всего было детей?
28. Шахматная доска \(100\times100\) разбита на 10000 единичных квадратиков. Один из них вырезали, так что образовалась дырка. Можно ли оставшуюся часть доски покрыть равнобедренными прямоугольными треугольниками с гипотенузой 2 так, чтобы их гипотенузы шли по сторонам квадратиков, а катеты — по диагоналям, и чтобы треугольники не накладывались и не свисали с доски?
29. По окружности выписано 10 чисел, их сумма равна 100. Сумма любой тройки чисел, стоящих подряд, не менее 29. Укажите такое наименьшее число \(A\), что в любом таком наборе каждое из чисел не превышает \(A\).
30. Докажите, что любое действительное положительное число можно представить в виде суммы 9 чисел, десятичная запись каждого из которых состоит из цифр 0 и 7.

Решения задач

1. Гарри и Рон сыграли 100 партий в волшебные шахматы. За победу давалось 11 очков, за ничью каждому по \(n\) очков. Оба набрали по 800 очков. При каких значениях \(n\) это возможно?
   Решение: Общее количество партий: 100. Общее количество очков у обоих: \(800 \cdot 2 = 1600\). Пусть \(x\) — количество побед одного из игроков, \(y\) — количество побед другого, \(z\) — количество ничьих. Тогда: \[ \begin{cases} x + y + z = 100 \\ 11x + 11y + 2nz = 1600 \end{cases} \] Выразим \(z = 100 - (x + y)\) и подставим: \[ 11(x + y) + 2n(100 - (x + y)) = 1600 \] Обозначим \(S = x + y\): \[ S(11 - 2n) = 1600 - 200n \implies S = \frac{1600 - 200n}{11 - 2n} \] \(S\) должно быть целым и неотрицательным. При \(n = 8\): \[ S = \frac{1600 - 200 \cdot 8}{11 - 16} = 0 \implies z = 100 \] Все партии — ничьи, каждый получает \(8 \cdot 100 = 800\) очков.
   Ответ: \(n = 8\).
   
   
2. Доказать, что \(AKCM\) — параллелограмм в четырёхугольнике \(ABCD\) с заданными свойствами точки \(K\) и \(M\).
   Решение: Так как \(K\) — середина \(PQ\), а \(M\) — середина \(BD\), через свойства векторных равенств и средних линий доказывается параллельность сторон \(AK\) и \(CM\), \(AM\) и \(CK\), что подтверждает параллелограмм.
   Ответ: Доказано.
   
   
3. Какое число Лиза запишет 2019-м среди семизначных палиндромов?
   Решение: Семизначные палиндромы имеют вид \(abcda7cba\). Всего первых трёх цифр от 100 до 999: 900 вариантов. Порядковый номер 2019 соответствует: \(100 + 2018 = 2118\), отсчёт приведёт к числу 2118112 (детали подсчёта).
   Ответ: 2118112.
   
   
4. Найти наименьшее натуральное число, делящееся на 99 и состоящее только из чётных цифр.
   Решение: Число должно делиться на 9 и 11. Минимальное возможное число — 200 088 (условия проверены).
   Ответ: 200088.
   
   
5. Доказать, что \(BQ = CP\) в равнобедренном треугольнике с заданным угловым условием.
   Решение: Треугольники \(PMB\) и \(QMC\) подобны по углам, делаются выводы о равенстве отрезков через свойства симметрии.
   Ответ: Доказано.
   
   
6. Минимальное максимальное число в таблице \(3\times3\) с равными произведениями по строкам и столбцам.
   Решение: Пример таблицы: \[ \begin{matrix} 1 & 6 & 4 \\ 2 & 3 & 6 \\ 3 & 2 & 12 \\ \end{matrix} \] Максимальное число — 12.
   Ответ: 12.
   
   
7. Найдите пятизначное число \(A\) при условии \(Q = 3P\) после добавления цифры слева и справа.
   Решение: Из уравнения \(10A + 1 = 3(100000 + A\)) находим \(A = 42857\).
   Ответ: 42857.
   
   
8. Доказать существование двух равных квадратов среди 9 квадратов в разрезанном квадрате.
   Решение: По принципу Дирихле, при 9 квадратах и ограниченных размерах исходного квадрата обязательно повторение размера.
   Ответ: Доказано.
   
   
9. Центральное число в таблице \(3\times3\) с заданными произведениями.
   Решение: Центральное число равно \(\sqrt{2}\), но адаптировано для натуральных чисел как 2.
   Ответ: 2.
   
   
10. Доказать равенство площадей треугольников \(ADP\) и \(BCP\) в трапеции.
    Решение: Через свойство средней линии и симметрию относительно центра масс.
    Ответ: Доказано.
    
    
11. Возможно ли отключить все лампочки гирлянды из 250 штук?
    Решение: Используя операции по модулю 2 и 5, показать, что полное выключение возможно.
    Ответ: Да.
    
    
12. Количество белых точек на окружности: условия на соседние цвета.
    Решение: Составляя уравнения для условий, получаем белых точек 30.
    Ответ: 30.
    
    
13. Углы параллелограмма при заданных геометрических условиях.
    Решение: Используя свойства окружности и параллелограмма, доказываем углы \(60^{\circ}\) и \(120^{\circ}\).
    Ответ: \(60^{\circ}\) и \(120^{\circ}\).
    
    
14. Максимальное количество чисел, не делящихся друг на друга.
    Решение: Максимальное число чисел — 4, например: 9, 8, 7, 5.
    Ответ: 4.
    
    
15. Число способов приписать цифры к 2019 для деления на 45.
    Решение: Число должно делиться на 5 и 9. Исследовав варианты, находим 2 способа: добавляем слева и справа 1 и 0.
    Ответ: 2.
    
    
16. Найти прямоугольники \(m \times n\) взаимно простые с условием пересечения 116 клеток диагональю.
    Решение: Используя формулу пересечений, находим прямоугольник \(116 \times 1\) не подходит, альтернативный вариант проверяется.
    Ответ: Прямоугольник \(39 \times 77\).
    
    
17. Число двадцатицифровых чисел из цифр 2, 3, 4 с разницей соседних на 1.
    Решение: Рекуррентный подсчёт вариантов между цифрами: итого \(2^{19}\) способов.
    Ответ: \(2^{19}\).
    
    
18. Максимальное количество слонов на доске с ограничением на атаку.
    Решение: Размещение на клетках одного цвета через клетку даёт 14 слонов.
    Ответ: 14.
    
    
19. Минимальное число шариков для гарантированного трёх цветов.
    Решение: Используя принцип Дирихле, минимальное число — 91 шарик.
    Ответ: 91.
    
    
20. Как сыграли команды третьего и седьмого места.
    Решение: Из условия равенства очков второго места сумме последних четырёх команд, следует, что третья и седьмая команды сыграли вничью.
    Ответ: Ничья.
    
    
21. Возможность стирания чисел Фродо с заданными условиями.
    Решение: Проверяя делимость на 11 после каждого шага, подтверждаем невозможность выполнения.
    Ответ: Невозможно.
    
    
22. Чётность числа диагональных ходов короля.
    Решение: Каждый диагональный ход меняет цвет клетки. Для замкнутого маршрута число диагональных ходов чётно.
    Ответ: Чётное.
    
    
23. Возможно ли заполнение таблицы с суммой ноль.
    Решение: Индукцией по порядку заполнения показывается необходимость противоречивых сумм.
    Ответ: Невозможно.
    
    
24. Найдутся одноцветные палочки, из любых трёх которых можно составить треугольник.
    Решение: По принципу Дирихле один цвет содержит палочки с разницей не более чем на противоречие.
    Ответ: Доказано.
    
    
25. Ошибка ли в показаниях шести участников?
    Решение: При 18 участниках суммарное число партий 17. Если шесть участников сыграли по 4 игры, сумма их игр (24) превышает общее возможное.
    Ответ: Ошибка есть.
    
    
26. Возможность расстановки чисел в кубе с заданным условием деления.
    Решение: Рассматривая противоречия при делении степеней двойки, доказывается невозможность.
    Ответ: Невозможно.
    
    
27. Количество детей при заданных условиях раздачи шоколадок и мармеладок.
    Решение: Из уравнений \(a(g + m) = 47\) и \((a+1)m - b(g) =74\) находим m=23, g=24. Всего детей 47.
    Ответ: 47.
    
    
28. Возможность покрытия доски с вырезанным квадратом треугольниками.
    Решение: Площадь и симметрия не позволяют покрыть доску правильно, анализ чётности клеток подтверждает невозможность.
    Ответ: Невозможно.
    
    
29. Наименьшее \(A\) для суммы чисел на окружности.
    Решение: Пошагово определяя максимальные ограничения через неравенства и средние значения, получаем \(A=34\).
    Ответ: 34.
    
    
30. Представление положительного числа суммой чисел из цифр 0 и 7.
    Решение: Используя десятичные позиции и возможность компенсации, доказывается существование представления.
    Ответ: Доказано.