8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей НИУ ВШЭ из 9 в 10 класс 2022 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 04.2022
Сложность:
Дата экзамена: 04.2022
youit.school ©

ЛИЦЕЙ НИУ ВШЭ


2022 год


07.04.2022



  1. Найдите значение $(-6t)$, где $t = -\dfrac{11}{6}$.

  2. Ежемесячный доход семьи равен 95000 руб. Известно, что 40% этой суммы составляет зарплата Татьяны. В результате кризиса её зарплата снизилась на 10%, а остальные доходы не изменились. На сколько процентов снизился доход семьи в целом?

  3. Найдите сумму квадратов трёх наименьших целых решений неравенства: \[ \frac{5x-2}{4} \leq \frac{3-x}{5} < \frac{1-x}{10}. \]

  4. Число $1{,}2$ можно получить при сложении 4 различных дробей с числителем, равным 1, и натуральными знаменателями. В ответе запишите сумму знаменателей этих дробей.

  5. В параллелограмме $MFKT$ больший угол равен $135^\circ$, а диагональ $FT$ перпендикулярна стороне $FK$, сторона $KT$ равна 14. Найдите площадь параллелограмма.

  6. Незнайка выписал арифметическую прогрессию, первый член которой равен $-200$, а каждый следующий член на 4 больше предыдущего. Какое наименьшее количество первых членов прогрессии нужно взять, чтобы их сумма была положительной?

  7. Задана функция: \[ y = \frac{\sqrt{-7x^2 - 15x + 22}}{|2x+3|-2} - \sqrt{-x}. \] Найдите наименьшее целое число, принадлежащее области определения заданной функции.

  8. При всех допустимых значениях переменной упростите выражение: \[ \left( \frac{9x + 6\sqrt{x} + 1}{3x - 8\sqrt{x} - 3} \cdot \frac{3\sqrt{x} - \sqrt{2}}{6\sqrt{x} + 2} \right)^{-1}. \]

  9. Окружность радиуса $3{,}5$ вписана в треугольник $KLT$ и касается сторон $KT$ и $KL$ соответственно в точках $A$ и $B$. Известно, что $TA : AK = 1 : 2$, $VB : BL = 2 : 3$. Найдите наибольшую сторону треугольника $KLT$.

  10. При каких значениях параметра $a$ уравнение \[ ax^2 - 6(2a+1)x + 36(a+1) = 0 \] имеет два различных корня, один из которых в два раза больше другого? В ответ укажите все подходящие значения $a$.

Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Найдите значение $(-6t)$, где $t = -\dfrac{11}{6}$.
    Решение: \[ -6t = -6 \cdot \left(-\dfrac{11}{6}\right) = 11 \] Ответ: 11.
  2. Ежемесячный доход семьи равен 95000 руб. Известно, что 40% этой суммы составляет зарплата Татьяны. В результате кризиса её зарплата снизилась на 10\%, а остальные доходы не изменились. На сколько процентов снизился доход семьи в целом?
    Решение:
    • Зарплата Татьяны: $95000 \cdot 0,4 = 38000$ руб.
    • Остальные доходы: $95000 - 38000 = 57000$ руб.
    • Новая зарплата: $38000 \cdot 0,9 = 34200$ руб.
    • Новый общий доход: $34200 + 57000 = 91200$ руб.
    • Снижение дохода: $95000 - 91200 = 3800$ руб.
    • Процент снижения: $\dfrac{3800}{95000} \cdot 100% = 4\%$.
    Ответ: 4.
  3. Найдите сумму квадратов трёх наименьших целых решений неравенства: \[ \frac{5x-2}{4} \leq \frac{3-x}{5} < \frac{1-x}{10}. \] Решение:
    • Левая часть: $\dfrac{5x-2}{4} \leq \dfrac{3-x}{5}$. \[ 25x - 10 \leq 12 - 4x \quad \Rightarrow \quad 29x \leq 22 \quad \Rightarrow \quad x \leq \dfrac{22}{29} \approx 0,7586. \]
    • Правая часть: $\dfrac{3-x}{5} < \dfrac{1-x}{10}$. \[ 6 - 2x < 1 - x \quad \Rightarrow \quad 5 < x. \]
    • Решений нет, так как $x \leq 0,7586$ и $x > 5$ противоречат друг другу. Возможная ошибка в условии задачи.
    Ответ: противоречие в условии.
  4. Число $1{,}2$ можно получить при сложении 4 различных дробей с числителем, равным 1, и натуральными знаменателями. В ответе запишите сумму знаменателей этих дробей.
    Решение: \[ \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{15 + 10 + 6 + 5}{30} = \dfrac{36}{30} = 1,2. \] Сумма знаменателей: $2 + 3 + 5 + 6 = 16$. Ответ: 16.
  5. В параллелограмме $MFKT$ больший угол равен $135^\circ$, а диагональ $FT$ перпендикулярна стороне $FK$, сторона $KT$ равна 14. Найдите площадь параллелограмма.
    Решение:
    • Треугольник $FKT$ прямоугольный ($FT \perp FK$).
    • По теореме Пифагора: $FK^2 + FT^2 = KT^2 = 14^2$.
    • Площадь параллелограмма: $S = FK \cdot FT$.
    • Решая систему уравнений, получаем $FK = 7\sqrt{2}$, $FT = 7\sqrt{2}$.
    • $S = 7\sqrt{2} \cdot 7\sqrt{2} = 98$.
    Ответ: 98.
  6. Незнайка выписал арифметическую прогрессию, первый член которой равен $-200$, а каждый следующий член на 4 больше предыдущего. Какое наименьшее количество первых членов прогрессии нужно взять, чтобы их сумма была положительной?
    Решение: \[ S_n = \dfrac{(2a_1 + d(n-1))n}{2} > 0 \quad \Rightarrow \quad (-404 + 4n)n > 0 \quad \Rightarrow \quad n > 101. \] Ответ: 102.
  7. Задана функция: \[ y = \frac{\sqrt{-7x^2 - 15x + 22}}{|2x+3|-2} - \sqrt{-x}. \] Найдите наименьшее целое число, принадлежащее области определения заданной функции.
    Решение:
    • $-7x^2 - 15x + 22 \geq 0$: $x \in \left[-\dfrac{22}{7}; 1\right]$.
    • $|2x+3| \neq 2$: $x \neq -0,5$, $x \neq -2,5$.
    • $-x \geq 0$: $x \leq 0$.
    • Наименьшее целое: $-3$.
    Ответ: $-3$.
  8. При всех допустимых значениях переменной упростите выражение: \[ \left( \frac{9x + 6\sqrt{x} + 1}{3x - 8\sqrt{x} - 3} \cdot \frac{3\sqrt{x} - \sqrt{2}}{6\sqrt{x} + 2} \right)^{-1}. \] Решение:
    • Числитель первой дроби: $(3\sqrt{x} + 1)^2$.
    • Знаменатель первой дроби: $(3\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 3)$.
    • Упрощение: $\dfrac{3\sqrt{x} - \sqrt{2}}{2(\sqrt{x} - 3)}$.
    • Обратное выражение: $\dfrac{2(\sqrt{x} - 3)}{3\sqrt{x} - \sqrt{2}}$.
    Ответ: $\dfrac{2(\sqrt{x} - 3)}{3\sqrt{x} - \sqrt{2}}$.
  9. Окружность радиуса $3{,}5$ вписана в треугольник $KLT$ и касается сторон $KT$ и $KL$ соответственно в точках $A$ и $B$. Известно, что $TA : AK = 1 : 2$, $VB : BL = 2 : 3$. Найдите наибольшую сторону треугольника $KLT$.
    Решение:
    • $KT = 3x$, $KL = 5x$, $LT = 4x$.
    • Периметр: $12x$.
    • Радиус вписанной окружности: $r = \dfrac{S}{p} = 3,5$.
    • Решая уравнение, получаем $x = 3,5$.
    • Наибольшая сторона: $KL = 5x = 17,5$.
    Ответ: 17,5.
  10. При каких значениях параметра $a$ уравнение \[ ax^2 - 6(2a+1)x + 36(a+1) = 0 \] имеет два различных корня, один из которых в два раза больше другого? В ответ укажите все подходящие значения $a$.
    Решение:
    • Корни: $x_1 = 2x_2$.
    • По теореме Виета: $x_1 + x_2 = \dfrac{6(2a+1)}{a}$, $x_1x_2 = \dfrac{36(a+1)}{a}$.
    • Решая систему, получаем $a = 1$ и $a = -2$.
    Ответ: $1$; $-2$.
Материалы школы Юайти