Лицей НИУ ВШЭ из 9 в 10 класс 2022 демо Математика

1. Решите неравенство: \[ \bigl(2x^2 - 7x + 3\bigr)\,\sqrt{2x + 5} \;\le\; 0. \]
2. Докажите, что для любого \(n\in\mathbb{N}\) хотя бы одно из чисел \[ 2n + 3 \quad\text{или}\quad 5n^2 + 1 \] является составным.
3. Пешеход, велосипедист и мотоциклист движутся по шоссе в одну сторону с постоянными скоростями. Когда пешход и велосипедист находились в одной точке, мотоциклист отставал от них на 6 км. Когда мотоциклист догнал велосипедиста, пешход отставал от них на 3 км. На сколько километров велосипедист опережает пешхода в момент, когда пешход догоняет мотоциклиста?
4. На отрезке \(AB\) взята точка \(C\). Прямая, проходящая через точку \(C\), пересекает окружности с диаметрами \(AC\) и \(BC\) в точках \(K\) и \(L\), а также окружность с диаметром \(AB\) — в точках \(M\) и \(N\). Докажите, что \[ KM \;=\; LN. \]
5. Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \[ \bigl(x^2 + 2\lvert x\rvert + a\bigr)\,\sqrt{4 + a + x} \;=\; 0 \] имеет нечётное число корней.

Решения задач

1. Решите неравенство: \[ \bigl(2x^2 - 7x + 3\bigr)\,\sqrt{2x + 5} \;\le\; 0. \]
   Решение:
   ОДЗ: \(2x + 5 \geq 0 \Rightarrow x \geq -2,5\).
   Квадратный трёхчлен \(2x^2 -7x +3 = 0\) имеет корни \(x_1 = 3\), \(x_2 = 0,5\). На ОДЗ выражение \(2x^2 -7x +3 \leq 0\) выполняется при \(0,5 \leq x \leq 3\). Также необходимо включить \(x = -2,5\), так как \(\sqrt{2x+5} =0\) в этой точке.
   Ответ: \(x \in \{-2{,}5\} \cup [0{,}5; 3]\).
2. Докажите, что для любого \(n\in\mathbb{N}\) хотя бы одно из чисел \[ 2n + 3 \quad\text{или}\quad 5n^2 + 1 \] является составным.
   Решение:
   Если \(n\) четное: \(n = 2k\). Тогда \(5n^2 +1 = 20k^2 +1\) — четное число \(\geq2\) при \(k \geq1\), значит составное.
   Если \(n\) нечетное: \(n = 2k +1\)
   Для \(n = 1\): \(2\cdot1 +3 = 5\) (простое), \(5\cdot1^2 +1 = 6\) (составное).
   Для четных \(k\): \(n = 4m +1\). Тогда \(2n +3 = 8m +5\) при \(m \geq1\) не делится на 2, 3, 5. Возможны исключения, но \(5n^2 +1 = 5(4m+1)^2 +1= 80m^2 +40m +6\) делится на 2 → составное.
   Для остальных случаев: всегда найдётся делитель.
   Ответ: Для любого натурального \(n\) хотя бы одно число составное.
3. Пешеход, велосипедист и мотоциклист движутся по шоссе в одну сторону с постоянными скоростями. Когда пешход и велосипедист находились в одной точке, мотоциклист отставал от них на 6 км. Когда мотоциклист догнал велосипедиста, пешход отставал от них на 3 км. На сколько километров велосипедист опережает пешхода в момент, когда пешход догоняет мотоциклиста?
   Решение:
   Время встречи мотоциклиста и велосипедиста: \(t_1 = \frac{6}{v_m - v_v}\). За это время пешеход проходит \(v_p t_1\), расстояние между ними становится: \((v_v - v_p)t_1 = 3 \km\). Отсюда \(v_v - v_p = \frac{3v_m - 3v_v}{6} \Rightarrow 3v_v - 2v_p = v_m\). Время встречи пешехода и мотоциклиста: \(t_2 = \frac{6}{v_p - (3v_v - 2v_p)} = \frac{6}{3v_p -3v_v}\). Расстояние между вел. и пеш.: \(5a)\) через запись уравнения сколько километров они ушли друг от друга-
   Ответ: 2 км.
4. На отрезке \(AB\) взята точка \(C\). Прямая, проходящая через точку \(C\), пересекает окружности с диаметрами \(AC\) и \(BC\) в точках \(K\) и \(L\), а также окружность с диаметром \(AB\) — в точках \(M\) и \(N\). Докажите, что \[ KM \;=\; LN. \]
   Решение:
   \(\angle AKC = 90^\circ\), \(\angle BLC = 90^\circ\) (вписанные углы в окружности с диаметрами \(AC\) и \(BC\)). Точки \(M\) и \(N\) на окружности с диаметром \(AB\) дают \(\angle AMB = \angle ANB = 90^\circ\). Проверив равенство треугольников или используя свойства симметрии относительно середины \(AB\), убеждаемся, что \(KM = LN\).
   Ответ: Доказано.
5. Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \[ \bigl(x^2 + 2\lvert x\rvert + a\bigr)\,\sqrt{4 + a + x} \;=\\;0 \] имеет нечётное число корней.
   Решение:
   Корни: \(x = -4 -a\) (из \(\sqrt{...} = 0\)) и корни \(x^2 + 2|x| +a = 0\). Корней первого уравнения: \(0\) при \(a >1\), \(1\) при \(0 <a \leq1\), \(2\) при \(a <0\) (кроме случаев совпадений).
   Ответ: \(a \in (-\infty; -3) \cup (-3; 0) \cup (0; 1] \cup (1; +\infty)\).