Лицей НИУ ВШЭ из 9 в 10 класс 2022 год

1. (3 балла) Решите уравнение \[ \biggl(\frac{x-3}{x+1}\biggr)^{2} \;-\; 2\;\cdot\;\frac{x-3}{x^{2}+x} \;-\; \frac{3}{x^{2}} =0. \]
   
2. (3 балла) Один кубический метр природного газа на 250% дороже одного килограмма угля и даёт тепла на 40% больше. На сколько процентов возрастут расходы на топливо при переходе с угля на газ при прочих равных условиях?
   
3. (4 балла) Найдите все значения \(x\), для каждого из которых имеет смысл выражение \[ \frac{\bigl(\sqrt{x-2}\bigr)^{2} + 1} {\sqrt{-\,x^{2} + 4x - 3} - \lvert x - 1\rvert}. \]
   
4. (5 баллов) Диагонали четырёхугольника \(ABCD\), вписанного в окружность, взаимно перпендикулярны. Из вершин \(B\) и \(C\) на сторону \(AD\) опустили перпендикуляры. Они пересекают диагонали \(AC\) и \(BD\) в точках \(E\) и \(F\) соответственно. Найдите длину отрезка \(EF\), если \(BC = 1\).
   
5. (5 баллов) Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых решение неравенства \[ \frac{a x - 4}{x + a} \;\ge\; 0 \] содержит отрезок \([-2;1]\).

Решения задач

1. Решите уравнение \[ \biggl(\frac{x-3}{x+1}\biggr)^{2} \;-\; 2\;\cdot\;\frac{x-3}{x^{2}+x} \;-\; \frac{3}{x^{2}} =0. \] Решение: Заметим, что \(x^2 + x = x(x + 1)\). Перепишем уравнение: \[ \left(\frac{x-3}{x+1}\right)^2 - \frac{2(x-3)}{x(x+1)} - \frac{3}{x^2} = 0. \] Умножим обе части на \(x^2(x+1)^2\) для устранения знаменателей: \[ (x-3)^2 x^2 - 2(x-3)x(x+1) - 3(x+1)^2 = 0. \] Раскроем скобки и упростим: \[ x^4 -6x^3 +9x^2 -2x^3 +4x^2 +6x -3x^2 -6x -3 = 0, \] \[ x^4 -8x^3 +10x^2 -3 = 0. \] Найдём корни уравнения. Корни подбираются среди делителей числа \(-3\): \(\pm1\), \(\pm3\). - При \(x = 1\) выражение равно нулю. Делим уравнение на \((x - 1)\): \[ x^3 -7x^2 +3x +3 = 0. \] - \(x = 1\) снова решение. Делим на \((x - 1)\): \[ x^2 -6x -3 = 0 \implies x = 3 \pm 2\sqrt{3}. \] Проверка показывает, что найденные корни не обращают знаменатели исходного уравнения в ноль. Исключаем \(x = -1\) и \(x = 0\) по условию существования. Ответ: \(x = 1\), \(x = 3 \pm 2\sqrt{3}\).
2. Один кубический метр природного газа на 250% дороже одного килограмма угля и даёт тепла на 40% больше. На сколько процентов возрастут расходы на топливо при переходе с угля на газ при прочих равных условиях? Решение: Пусть цена 1 кг угля — \(C\). Тогда цена 1 м³ газа — \(3,5C\) (250% дороже), а теплоотдача газа составляет 1,4 единицы против 1 единицы угля. Себестоимость единицы тепла: - Уголь: \(C\). - Газ: \(\frac{3,5C}{1,4} = 2,5C\). Увеличение расходов: \(2,5C - C = 1,5C\) — на 150\%. Ответ: расходы возрастут на 150\%.
   
   
3. Найдите все значения \(x\), для которых имеет смысл выражение \[ \frac{\bigl(\sqrt{x-2}\bigr)^{2} + 1} {\sqrt{-\,x^{2} + 4x - 3} \;-\; \lvert x - 1\rvert}. \] Решение: Числитель упрощается: \((\sqrt{x-2})^2 +1 = x -1\). ОДЗ для числителя: \(x \geq 2\). Знаменатель:
   • Подкоренное выражение: \(-x^2 +4x -3 \geq 0 \implies x \in [1;3]\).
   • Знаменатель не должен быть нулём: \(\sqrt{-(x^2 -4x +3)} \neq |x -1|\).
   Решим уравнение \(\sqrt{-(x-1)(x-3)} = |x -1|\) для \(x \in [2;3]\) (так как \(x \geq 2\)): \[ (x-1)(3 -x) = (x-1)^2 \implies (x-1)[3 -x - (x-1)] = 0 \implies x =1 \text{ (не входит), } x =2. \] Исключаем \(x =2\), так как знаменатель обращается в ноль. Область определения: \(x \in (2;3]\). Ответ: \(x \in (2;3]\).
4. Диагонали четырёхугольника \(ABCD\), вписанного в окружность, взаимно перпендикулярны. Из вершин \(B\) и \(C\) на сторону \(AD\) опустили перпендикуляры. Они пересекают диагонали \(AC\) и \(BD\) в точках \(E\) и \(F\) соответственно. Найдите длину отрезка \(EF\), если \(BC = 1\). Решение: Для ортодиагонального вписанного четырёхугольника с диагоналями \(AC \perp BD\) из свойств следует, что отрезок между проекциями точек \(B\) и \(C\) на \(AD\) равен половине \(BC\). Поскольку проекции совпадают с точками \(E\) и \(F\), разница между ними определяется средней линией треугольника, образованного перпендикулярами. Ответ: \(EF = \frac{1}{2}\). Ответ: \(\frac{1}{2}\).
5. Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых решение неравенства \[ \frac{a x - 4}{x + a} \geq 0 \] содержит отрезок \([-2;1]\). Решение: Анализ знаков дроби для \(a < 0\):
   • При \(x \in [-2;1]\) знаменатель \(x + a < 0\) только если \(a \leq -2\).
   • Числитель \(a x -4 \leq 0\) при всех \(x \in [-2;1]\) при \(a \in [-2;-1)\).
   Это обеспечивает \(\frac{a x -4}{x + a} \geq 0\) на \([-2;1]\). Ответ: \(a \in [-2;-1)\).