8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей НИУ ВШЭ из 9 в 10 класс 2022 год

Сложность:
Дата экзамена: 2022
Печать
youit.school ©
ЛИЦЕЙ НИУ ВШЭ
Первая часть комплексного теста
Задания по МАТЕМАТИКЕ 2022 ДЕМО
Выполните задания (10 баллов).


  1. Вычислите: \[ \bigl(\tfrac{7}{33} + 0,\!(12)\bigr) : 0,1(3). \]
  2. Предприниматель приобрел два антикварных стола, заплатив за них 225000 рублей, и вскоре продал их с 40% прибыли. При этом прибыль от продажи первого стола составила 25%, а от второго — 50%. За какую цену был куплен первый стол?
  3. Найдите количество целых значений переменной \(x\), при которых функция \[ f(x) = \bigl(6\sqrt7 - 7\sqrt6\bigr)\,\bigl(\sqrt{x} - 2\bigr) \] принимает отрицательные значения на отрезке \([0;7]\).
  4. В классе 21 человек. Никакие две девочки не дружат с одинаковым количеством мальчиков. Какое наибольшее количество девочек может быть в классе?
  5. В равнобедренном треугольнике \(ABC\) с основанием \(AC\) проведена медиана \(BM\). Периметр треугольника \(ABC\) равен 18, а периметр треугольника \(ABM\) равен 14. Найдите длину \(BM\).
  6. При каком значении разности арифметической прогрессии, восьмой член которой равен 3, произведение пятого и десятого ее членов будет наибольшим?
  7. Найдите сумму всех целых чисел, входящих в область определения функции \[ f(x) = \sqrt{x^2 + 3x + 1} + \sqrt{20 - x^2}. \]
  8. Найдите значение выражения \[ \sqrt{\frac{a\sqrt{a} + b\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}} \;-\;\sqrt{ab} \;\Bigm/\; \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{ab(a - b)} \] при \(a = 0{,}2\) и \(b = 2\).
  9. Дан треугольник \(ABC\), в котором \(AB = 6\) и \(BC = 8\), а длина медианы \(BM\) равна 5. Найдите площадь треугольника \(ABC\).
  10. Найдите наибольшее значение \(a\), при котором уравнение \[ (a + 2)x + 2a\sqrt{x} + 1 = 0 \] имеет единственный корень.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Вычислите: \[ \bigl(\tfrac{7}{33} + 0,\!(12)\bigr) : 0,1(3). \]
    Решение:
    Преобразуем периодические десятичные дроби в обычные:
    • $0,\!(12) = \frac{12}{99} = \frac{4}{33}$
    • $0,1(3) = \frac{13 - 1}{90} = \frac{12}{90} = \frac{2}{15}$
    Сначала найдем сумму $\frac{7}{33} + \frac{4}{33} = \frac{11}{33} = \frac{1}{3}$. Затем выполним деление: $\frac{1}{3} : \frac{2}{15} = \frac{1}{3} \cdot \frac{15}{2} = \frac{15}{6} = 2,5$.
    Ответ: 2,5.
  2. Предприниматель приобрел два антикварных стола, заплатив за них 225000 рублей, и вскоре продал их с 40% прибыли. При этом прибыль от продажи первого стола составила 25%, а от второго — 50%. За какую цену был куплен первый стол?
    Решение:
    Пусть стоимость первого стола — $x$ руб., тогда второго — $(225000 - x)$ руб. Общая выручка: $1,25x + 1,5(225000 - x) = 1,4 \cdot 225000$.
    Решаем уравнение: $1,25x + 337500 - 1,5x = 315000$
    $-0,25x = -22500$
    $x = 90000$.
    Ответ: 90000 рублей.
  3. Найдите количество целых значений переменной \(x\), при которых функция \[ f(x) = \bigl(6\sqrt7 - 7\sqrt6\bigr)\,\bigl(\sqrt{x} - 2\bigr) \] принимает отрицательные значения на отрезке \([0;7]\).
    Решение:
    Определяем знак коэффициента: $(6\sqrt7)^2 = 252$, $(7\sqrt6)^2 = 294$, следовательно, $6\sqrt7 - 7\sqrt6 < 0$.
    Функция отрицательна, если $\sqrt{x} - 2 > 0$: $\sqrt{x} > 2 \Rightarrow x > 4$. Целые значения $x$: 5, 6, 7.
    Ответ: 3.
  4. В классе 21 человек. Никакие две девочки не дружат с одинаковым количеством мальчиков. Какое наибольшее количество девочек может быть в классе?
    Решение:
    Пусть количество девочек — $d$, тогда мальчиков — $m = 21 - d$.
    Количество возможных уникальных значений дружбы для девочек: от 0 до $m$.
    Для обеспечения уникальности: $d \leq m + 1 \Rightarrow 21 - d + 1 \geq d \Rightarrow d \leq 11$.
    Проверяем: $d=11$, $m=10$. Девочки могут иметь уникальное количество друзей от 0 до 10.
    Ответ: 11.
  5. В равнобедренном треугольнике \(ABC\) с основанием \(AC\) проведена медиана \(BM\). Периметр треугольника \(ABC\) равен 18, а периметр треугольника \(ABM\) равен 14. Найдите длину \(BM\).
    Решение:
    Периметр $ABC$: $2AB + AC = 18$.
    Периметр $ABM$: $AB + BM + \frac{AC}{2} = 14$.
    Выражаем $AC = 18 - 2AB$ и подставляем во второе уравнение:
    $AB + BM + \frac{18 - 2AB}{2} = 14 \Rightarrow AB + BM + 9 - AB = 14 \Rightarrow BM = 5$.
    Ответ: 5.
  6. При каком значении разности арифметической прогрессии, восьмой член которой равен 3, произведение пятого и десятого ее членов будет наибольшим?
    Решение:
    $a_8 = a_1 + 7d = 3 \Rightarrow a_1 = 3 - 7d$.
    $a_5 = 3 - 3d$, $a_{10} = 3 + 2d$.
    Произведение: $P = (3 - 3d)(3 + 2d) = -6d^2 - 3d + 9$.
    Максимум достигается при $d = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{-12} = -0,25$.
    Ответ: -0,25.
  7. Найдите сумму всех целых чисел, входящих в область определения функции \[ f(x) = \sqrt{x^2 + 3x + 1} + \sqrt{20 - x^2}. \]
    Решение:
    Система условий: $\begin{cases} x^2 + 3x + 1 \ge 0 \\ 20 - x^2 \ge 0 \Rightarrow |x| \leq \sqrt{20} \approx 4,47 \end{cases}$
    Целые значения $x$: -4, -3, 0, 1, 2, 3, 4 (проверка значений на $x^2 + 3x + 1 \ge 0$ исключает $x = -1, -2$).
    Их сумма: $-4 - 3 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 3$.
    Ответ: 3.
  8. Найдите значение выражения \[ \sqrt{\frac{a\sqrt{a} + b\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}} \;-\;\sqrt{ab} \;\Bigm/\; \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{ab(a - b)} \] при \(a = 0{,}2\) и \(b = 2\).
    Решение:
    После алгебраических упрощений выражение сводится к: $\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{ab}} \cdot ab(a - b)$.
    Подстановка $a = 0,2$, $b = 2$:
    $\sqrt{0,2} - \sqrt{2} = \sqrt{\frac{1}{5}} - \sqrt{2} = \frac{1}{\sqrt{5}} - \sqrt{2}$.
    $\sqrt{ab} = \sqrt{0,4} = \frac{2}{\sqrt{10}}$.
    Знаменатель: $\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{ab(a - b)} = -\frac{\sqrt{\frac{1}{5}} + \sqrt{2}}{0,4 \cdot (-1,8)}$.
    Подсчёт итога: $-0,3$.
    Ответ: -0,3.
  9. Дан треугольник \(ABC\), в котором \(AB = 6\) и \(BC = 8\), а длина медианы \(BM\) равна 5. Найдите площадь треугольника \(ABC\).
    Решение:
    Формула медианы: $BM = \frac{1}{2}\sqrt{2AB^2 + 2BC^2 - AC^2}$.
    Подстановка значений: $5^2 = \frac{1}{4}(72 + 128 - AC^2) \Rightarrow AC = 10$.
    Проверка прямоугольности: $6^2 + 8^2 = 10^2$ — прямоугольный треугольник. Площадь: $\frac{6 \cdot 8}{2} = 24$.
    Ответ: 24.
  10. Найдите наибольшее значение \(a\), при котором уравнение \[ (a + 2)x + 2a\sqrt{x} + 1 = 0 \] имеет единственный корень.
    Решение:
    Замена $t = \sqrt{x}$, уравнение: $(a+2)t^2 + 2a t + 1 = 0$.
    Условие единственности корня: $D = 4a^2 - 4(a+2) \cdot 1 = 0$ и корень $t \ge 0$.
    Решаем: $4a^2 - 4a - 8 = 0 \Rightarrow a = 2$ или $a = -1$. Проверка $t \ge 0$ только для $a = -1$ дает реальное решение.
    Альтернатива: уравнение имеет один положительный и один отрицательный корень при $a < -2$, но максимальное возможное значение $a$ достигается при $a = -2$.
    Ответ: -2.
Материалы школы Юайти