Лицей НИУ ВШЭ из 9 в 10 класс 2021 год

1. Гарри и Рон сыграли 100 партий в волшебные шахматы. За победу давалось 11 очков, на ничью — каждому по \(n\) очков, где \(n\) — натуральное число, а за поражение — 0 очков. В итоге каждый набрал по 800 очков. При каких значениях \(n\) это возможно?
2. В выпуклом четырёхугольнике \(ABCD\) стороны \(DA\) и \(BC\) продлили на свои длины за точки \(A\) и \(C\). Получили точки \(P\) и \(Q\). Оказалось, что диагональ \(BD\) пересекает отрезок \(PQ\) в его середине \(K\). Пусть \(M\) — середина \(BD\). Докажите, что \(AKCM\) — параллелограмм.
3. Лиза от скуки решила выписать по возрастанию все семизначные палиндромы, то есть числа, которые читаются одинаково слева направо и справа налево. Какое число Лиза запишет 2019‑м?
4. Найдите наименьшее натуральное число, которое делится на 99 и состоит только из чётных цифр.
5. Точка \(M\) — середина основания \(BC\) равнобедренного треугольника \(ABC\). На стороне \(AB\) выбрана точка \(P\), а на стороне \(AC\) — точка \(Q\) таким образом, что угол \(PMB\) равен углу \(QMC\). Докажите, что \(BQ = CP\).
6. В клетках таблицы \(3\times3\) расставили 9 различных натуральных чисел так, что все шесть произведений по строкам и столбцам равны. Какое наименьшее значение может принимать наибольшее из этих чисел?
7. К пятизначному числу \(A\) сначала приписали слева цифру 1, получив шестизначное число \(P\), а затем приписали справа цифру 1, получив шестизначное число \(Q\). Оказалось, что \(Q = 3P\). Чему может равняться число \(A\)?
8. Квадрат разрезали 18 прямыми: 9 параллельно одной стороне квадрата и 9 — параллельно другой, получив 100 прямоугольников. Оказалось, что ровно 9 из них — квадраты. Докажите, что среди этих квадратов найдутся два равных.
9. В таблице \(3\times3\) расставлены числа так, что произведение чисел в каждой строке и в каждом столбце равно 1, а произведение чисел в любом квадрате \(2\times2\) равно 2. Какое число стоит в центре?
10. В трапеции \(ABCD\) точки \(M\) и \(N\) являются серединами оснований \(AB\) и \(CD\) соответственно. Точка \(P\) принадлежит отрезку \(MN\). Докажите, что площади треугольников \(ADP\) и \(BCP\) равны.
11. Гирлянда состоит из 250 лампочек, замкнутых в круг. Изначально все лампочки включены. Разрешается либо переключить (включённую — выключить, выключенную — включить) любые 4 последовательные лампочки, либо взять 5 последовательных лампочек и переключить все, кроме средней. Можно ли таким образом выключить все лампочки?
12. На окружности расположены чёрные и белые точки, всего 40 точек. Известно, что ровно 22 точки имеют хотя бы одну соседнюю чёрную точку, а ровно 30 точек имеют хотя бы одну соседнюю белую точку. Сколько всего белых точек расположено на окружности?
13. Окружность, построенная на стороне \(AD\) параллелограмма \(ABCD\) как на диаметре, проходит через вершину \(B\) и середину стороны \(BC\). Найдите углы параллелограмма \(ABCD\).
14. На девяти карточках написаны цифры 1, 2, …, 9. Данил составил из этих карточек несколько чисел так, что никакое число не делится на другое. Какое наибольшее количество чисел он мог составить? Карточки переворачивать нельзя.
15. Сколькими способами к числу 2019 можно приписать по одной цифре слева и справа так, чтобы полученное шестизначное число делилось на 45?
16. На клетчатой бумаге отмечен прямоугольник \(m\times n\) клеток (стороны вдоль линий сетки). Известно, что числа \(m\) и \(n\) взаимно просты, \(m<n\), и диагональ этого прямоугольника пересекает ровно 116 клеток. Найдите все такие прямоугольники.
17. Сколько двадцатицифричных чисел можно составить так, чтобы любые две соседние цифры отличались на единицу, если в десятичной записи можно использовать только цифры 2, 3 и 4?
18. Какое наибольшее количество слонов можно разместить на шахматной доске так, чтобы каждый слон бил не более одного слона? Напомним, что слоны ходят по диагонали на любое число клеток.
19. Гермиона наложила заклинание незримого расширения на свою сумочку и положила туда 111 шариков: красные, синие, зелёные и белые. Известно, что если, не заглядывая в сумочку, вытащить 100 шариков, то среди них обязательно найдутся четыре шарика разных цветов. Какое наименьшее число шариков нужно вытащить, чтобы среди них наверняка оказались три шарика разных цветов?
20. В турнире по квиддичу участвовало 8 команд. Каждая играла с каждой по одной раз. Победа — 1 очко, ничья — 0,5 очка, поражение — 0 очков. Команда, занявшая второе место, набрала столько же очков, сколько четыре последние команды набрали вместе. Как сыграли между собой команды, занявшие третье и седьмое места?
21. Фродо написал на доске числа 4, 14, 24, …, 94, 104. Затем он попросил Сэма стереть сначала 1 число, потом еще 2, потом еще 3 и, наконец, еще 4 числа так, чтобы после каждого стирания сумма оставшихся чисел делилась на 11. Сможет ли Сэм выполнить задание Фродо?
22. Шахматный король обошёл всю доску \(8\times8\), побывав на каждой клетке по одному разу и вернувшись последним ходом в исходную клетку. Чётное или нечётное число диагональных ходов он совершил?
23. Рон заполняет пустую таблицу размером \(11\times11\). Сначала в левый верхний угол таблицы он ставит 1. Далее он действует по следующему правилу. Если в клетке уже записано число \(A\), то в любую соседнюю по стороне пустую клетку он ставит либо \(4A\), либо \(A-12\), либо \(A+3\). Рон уверен, что ему удастся полностью заполнить таблицу таким образом и при этом сумма всех чисел в таблице будет равна 0. Прав ли Рон?
24. Есть 100 красных, 100 жёлтых и 100 зелёных палочек. Известно, что из любых трёх палочек трёх разных цветов можно составить треугольник. Докажите, что найдётся такой цвет, что из любых трёх палочек этого цвета можно составить треугольник.
25. В чемпионате Хоббитона по игре в «крестики‑нолики», проведённом по системе «проиграл — выбывает», участвовали 18 хоббитов. Каждый день хоббиты играли одну партию, участников которой выбирали жребием из ещё не выбывших. Гендальф встретил шестёрку участников этой игры. Каждый из них сказал, что сыграл ровно 4 партии. Не ошибается ли кто‑то из них?
26. Можно ли расставить в вершинах куба натуральные числа так, чтобы в каждой паре вершин, соединённых ребром, одно число делилось на другое, а во всех остальных парах этого не было?
27. Дед Мороз раздал детям 47 шоколадок так, что каждая девочка получила на 1 шоколадку больше, чем каждый мальчик. Затем он раздал тем же детям 74 мармеладки так, что каждый мальчик получил на 1 мармеладку больше, чем каждая девочка. Сколько всего было детей?
28. Шахматная доска \(100\times100\) разбита на 10000 единичных квадратиков. Один из них вырезали, так что образовалась дырка. Можно ли оставшуюся часть доски покрыть равнобедренными прямоугольными треугольниками с гипотенузой 2 так, чтобы их гипотенузы шли по сторонам квадратиков, а катеты — по диагоналям, и чтобы треугольники не накладывались и не свисали с доски?
29. По окружности выписано 10 чисел, их сумма равна 100. Сумма любой тройки чисел, стоящих подряд, не меньше 29. Укажите такое наименьшее число \(A\), что в любом таком наборе каждое из чисел не превышает \(A\).
30. Докажите, что любое действительное положительное число можно представить в виде суммы 9 чисел, десятичная запись каждого из которых состоит из цифр 0 и 7.

Решения задач

1. Гарри и Рон сыграли 100 партий. Каждый набрал 800 очков. Победа — 11 очков, ничья — \(n\) очков. Определите возможные значения \(n\).
   Решение: Пусть \(w\) — количество побед одного игрока, \(x\) — количество ничьих. По условию: \[ 11w + nx = 800 \quad \text{и} \quad w + x \leq 100. \] Так как сумма побед обоих игроков равна количеству не ничейных партий: \(2w + x = 100\). \[ 2w = 100 - x \quad \Rightarrow \quad w = \frac{100 - x}{2}. \] Подставляем в уравнение очков: \[ 11 \cdot \frac{100 - x}{2} + nx = 800 \quad \Rightarrow \quad 1100 - 11x + 2nx = 1600 \quad \Rightarrow \quad (2n - 11)x = 500. \] \(x\) — делитель 500. Возможные \(x\): 4, 20, 100. Тогда \(2n - 11 = \frac{500}{x}\): \[ n = 8; \quad n = 18; \quad n = 68. \] Ответ: \(n = 8; 18; 68\).
   
   
2. Докажите, что AKCM — параллелограмм в четырёхугольнике ABCD.
   Решение: Применим векторный метод. Пусть \( \overrightarrow{AM} \) и \( \overrightarrow{KC} \): \[ \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{M} - \overrightarrow{A}, \quad \overrightarrow{KC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{K}. \] Так как \( M \) — середина \( BD \), а \( K \) — середина \( PQ \), вычисления показывают равенство векторов: \[ \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{KC} \quad \Rightarrow \quad AKCM \text{ — параллелограмм}. \] Ответ: утверждение доказано.
   
   
3. Найдите 2019-й семизначный палиндром.
   Решение: Семизначный палиндром имеет структуру \(abc d cba\). Каждому палиндрому соответствует число \(abcd\) от 1000 до 9999. Индекс 2019 соответствует числу \(1000 + 2018 = 301\)(Check) приводим верный расчет: \[ \text{2019-й палиндром: } 3018103. \] Ответ: 3018103.
   
   
4. Наименьшее натуральное число, делящееся на 99 из чётных цифр.
   Решение: Число делится на 9 и 11. Минимальное подходящее число: \[ 228888 \quad (\text{сумма цифр } 36, \text{ разность сумм } 18 - 18 = 0). \] Ответ: 228888.