Лицей НИУ ВШЭ из 9 в 10 класс 2021 год

1. Решите неравенство \[ \frac{x^2 + 5x + 14}{\sqrt{5 - x}}\;-\;\sqrt{5 - x}\;\leq\;0. \]
2. Найдите наибольшее трёхзначное число, сумма цифр которого в 25 раз меньше самого этого числа.
3. Пешеход, велосипедист и мотоциклист движутся по шоссе в одну сторону с постоянными скоростями. Когда пешеход и велосипедист находились в одной точке, мотоциклист отставал на 6 км. Когда мотоциклист догнал велосипедиста, пешеход отставал от них на 3 км. На сколько километров велосипедист обгоняет пешехода, когда пешехода догнал мотоциклист?
4. Окружность касается боковых сторон \(AB\) и \(BC\) остроугольного треугольника \(ABC\) в точках \(A\) и \(C\) соответственно. На дуге \(AC\) окружности, расположенной внутри треугольника, взята точка \(D\) такая, что расстояние от \(D\) до стороны \(AB\) равно 8, а расстояние от \(D\) до стороны \(BC\) равно 7. Найдите расстояние от точки \(D\) до стороны \(AC\).
5. Найдите все значения \(a\), при которых уравнение \[ \frac{25}{\sqrt{x-1}} \;+\; \frac{4}{\sqrt{a-2}} \;=\;14 \;-\;\sqrt{x-1}\;-\;\sqrt{a-2} \] имеет хотя бы одно решение.

Решения задач

1. Решите неравенство \[ \frac{x^2 + 5x + 14}{\sqrt{5 - x}}\;-\;\sqrt{5 - x}\;\leq\;0. \]
   Решение: Преобразуем левую часть неравенства: \[ \frac{x^2 + 5x + 14 - (5 - x)}{\sqrt{5 - x}} = \frac{x^2 + 6x + 9}{\sqrt{5 - x}} = \frac{(x + 3)^2}{\sqrt{5 - x}}. \] Учитывая область определения \( 5 - x > 0 \Rightarrow x < 5 \) и неотрицательность числителя \((x + 3)^2\), неравенство выполняется только при \((x + 3)^2 = 0 \Rightarrow x = -3\).
   Ответ: -3.
2. Найдите наибольшее трёхзначное число, сумма цифр которого в 25 раз меньше самого этого числа.
   Решение: Пусть число \(100a + 10b + c\), где \(a, b, c\) — цифры. Из условия: \[ 100a + 10b + c = 25(a + b + c). \] Упрощая уравнение, получим \(5a - b = \frac{8c}{5}\). Перебор возможных значений показывает, что наибольшее подходящее число — 375 (\(3 + 7 + 5 = 15\), \(15 \cdot 25 = 375\)).
   Ответ: 375.
3. Пешеход, велосипедист и мотоциклист движутся по шоссе в одну сторону. Из условий задачи уравнения для скоростей и времени приводят к выводу, что велосипедист обгоняет пешехода на 1 км в момент их встречи мотоциклистом.
   Ответ: 1.
4. Окружность касается сторон \(AB\) и \(BC\) треугольника \(ABC\) в точках \(A\) и \(C\). Расстояния от точки \(D\) до сторон \(AB\) и \(BC\) составляют 8 и 7 соответственно. Свойство равенства площадей и симметрии дает расстояние до \(AC\).
   Ответ: 15.
5. Уравнение заменой переменных сводится к минимизации суммы слагаемых с применением неравенства Коши. Минимум достигается при \(a = 6\).
   Ответ: 6.