Лицей НИУ ВШЭ из 9 в 10 класс 2021 год

1. Решите уравнение \[ \frac{\sqrt{x^2 - 8\,(2x^2+3x-2)}}{2\lvert x-2\rvert + 4 - 2x} = 0. \]
2. В двух канистрах содержится 48кг и 42кг разных растворов соли. Если эти растворы слить вместе, получится раствор с 42% соли. Если же слить равные массы этих растворов, получится раствор с 40% соли. На сколько килограммов количество соли в одной канистре превышает количество соли в другой канистре?
3. Найдите все значения \(x\), для каждого из которых имеет смысл выражение \[ \frac{x^2 + x - 6}{\sqrt{4x - x^2 - 3} \;-\;\sqrt{x^2 - 2x + 1}}. \]
4. В трапеции \(ABCD\) (\(BC\parallel AD\)) биссектриса угла \(BAD\) проходит через точку \(E\), которая является серединой стороны \(CD\).
   1. Докажите, что \(\angle ABE = \angle CBE\).
   2. Найдите расстояние от точки \(E\) до прямой \(AB\), если \(AB = 13\), \(AE = 12\).
5. Найдите все значения параметра \(a\), при которых неравенство \[ (a+2)\,x \;>\; -a - 5 \] выполняется при всех значениях \(x\) из промежутка \([-3;1]\).

Решения задач

1. Решите уравнение \[ \frac{\sqrt{x^2 - 8\,(2x^2+3x-2)}}{2\lvert x-2\rvert + 4 - 2x} = 0. \] Решение: Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
   Подкоренное выражение должно быть равно нулю: \[ x^2 - 8(2x^2 + 3x - 2) = 0 \quad \Rightarrow \quad -15x^2 -24x + 16 = 0. \] Решаем квадратное уравнение: \[ D = 24^2 + 4 \cdot 15 \cdot 16 = 1536 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{D} = 16\sqrt{6}, \] \[ x = \frac{-24 \pm 16\sqrt{6}}{30} = \frac{-12 \pm 8\sqrt{6}}{15}. \] Проверим знаменатель при полученных корнях. Для \(x < 2\) знаменатель \(2|x - 2| + 4 - 2x = -4x + 8 \ne 0\), что верно при \(x \ne 2\). Оба корня \(\frac{-12 \pm 8\sqrt{6}}{15}\) меньше 2.
   Ответ: \(x = \frac{-12 \pm 8\sqrt{6}}{15}\).
2. В двух канистрах содержится 48\,кг и 42\,кг разных растворов соли. Если эти растворы слить вместе, получится раствор с 42% соли. Если же слить равные массы этих растворов, получится раствор с 40% соли. На сколько килограммов количество соли в одной канистре превышает количество соли в другой канистре?
   Решение: Пусть в первой канистре \(x\) кг соли, во второй \(y\) кг. Тогда: \[ \frac{x + y}{90} = 0{,}42 \quad \Rightarrow \quad x + y = 37{,}8, \] Для равных масс: \[ \frac{x}{48} \cdot m + \frac{y}{42} \cdot m = 0{,}40 \cdot 2m \quad \Rightarrow \quad \frac{x}{48} + \frac{y}{42} = 0{,}8. \] Решаем систему: \[ \begin{cases} 7x + 8y = 268{,}8, \\ x + y = 37{,}8. \end{cases} \] Решение: \(x = 33{,}6\), \(y = 4{,}2\). Разница: \(33{,}6 - 4{,}2 = 29{,}4\).
   Ответ: 29,4 кг.
3. Найдите все значения \(x\), для каждого из которых имеет смысл выражение \[ \frac{x^2 + x - 6}{\sqrt{4x - x^2 - 3} \;-\;\sqrt{x^2 - 2x + 1}}. \] Решение: \[ 4x - x^2 - 3 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \in [1; 3], \] \[ \sqrt{4x - x^2 -3} \ne \sqrt{(x - 1)^2} \quad \Rightarrow \quad x \ne 1, x \ne 2. \] Числитель \(x^2 + x -6\) определен при всех \(x\).
   Ответ: \(x \in (1; 2) \cup (2; 3]\).
4. В трапеции \(ABCD\) (\(BC\parallel AD\)) биссектриса угла \(BAD\) проходит через точку \(E\), которая является серединой стороны \(CD\).
   1. Докажите, что \(\angle ABE = \angle CBE\).
      Решение: Поскольку биссектриса угла \(BAD\) проходит через точку \(E\), середину \(CD\), по теореме о биссектрисе и средней линии трапеции следует, что треугольники \(ABE\) и \(CBE\) равны по сторонам и углам. Значит, \(\angle ABE = \angle CBE\).
   2. Найдите расстояние от точки \(E\) до прямой \(AB\), если \(AB = 13\), \(AE = 12\).
      Решение: Используем формулу площади треугольника \(ABE\): \[ S = \frac{1}{2} AE \cdot BE \cdot \sin \theta = \frac{1}{2} AB \cdot h, \] где \(h\) — искомое расстояние. Из теоремы Пифагора \(BE = 5\), тогда: \[ h = \frac{2S}{AB} = \frac{2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 \cdot \sin 90^\circ}{13} = \frac{60}{13} \approx 4{,}615. \] Ответ: \(\frac{60}{13}\).
5. Найдите все значения параметра \(a\), при которых неравенство \[ (a+2)\,x \;>\; -a - 5 \] выполняется при всех значениях \(x\) из промежутка \([-3;1]\).
   Решение: Рассмотрим линейную функцию \(f(x) = (a + 2)x + a + 5\).
   
   • При \(a + 2 > 0\): минимум на \(x = -3\): \(-3(a + 2) + a + 5 > 0 \quad \Rightarrow \quad -2a - 1 > 0 \quad \Rightarrow \quad a -2\), тогда \(a \in (-2; -0{,}5)\).
     
     
   • При \(a + 2 = 0\): неравенство \(0 \cdot x > -3\) верно, \(a = -2\).
     
     
   • При \(a + 2 0 \quad \Rightarrow \quad 2a + 7 > 0 \quad \Rightarrow \quad a > -3{,}5.\) При этом \(a < -2\), тогда \(a \in (-3{,}5; -2)\).
   Объединяя: \(a \in (-3{,}5; -0{,}5)\).
   Ответ: \(a \in \left(-\frac{7}{2}; -\frac{1}{2}\right)\).