Лицей НИУ ВШЭ из 9 в 10 класс 2021 год

1. Решите уравнение: \[ \frac{\sqrt{x^2 - 8\,(2x^2 + 3x - 2)}}{2\lvert x - 2\rvert + 4 - 2x} = 0. \]
   
   
2. В двух канистрах содержится 48 кг и 42 кг разных растворов соли. Если эти растворы слить вместе, то получится раствор, содержащий 42% соли. Если же слить равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 40% соли. На сколько килограммов количество соли в одной канистре превышает количество соли в другой канистре?
   
   
3. Найдите все значения \(x\), для каждого из которых имеет смысл выражение \[ \frac{x^2 + x - 6}{\sqrt{4x - x^2 - 3} \;-\; \sqrt{x^2 - 2x + 1}}. \]
   
   
4. В трапеции \(ABCD\) (\(BC \parallel AD\)) биссектриса угла \(BAD\) проходит через точку \(E\), которая является серединой стороны \(CD\).
   1. Докажите, что \(\angle ABE = \angle CBE\);
   2. Найдите расстояние от точки \(E\) до прямой \(AB\), если \(AB = 13\), \(AE = 12\).
   
   
   
5. Найдите все значения параметра \(a\), при которых неравенство \[ (a + 2)\,x > -a - 5 \] выполняется при всех значениях \(x\) из промежутка \((-3;1]\).

Решения задач

1. Решите уравнение: \[ \frac{\sqrt{x^2 - 8(2x^2 + 3x - 2)}}{2|x - 2| + 4 - 2x} = 0. \]
   Решение: Уравнение равно нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
   • Числитель: \[ \sqrt{x^2 - 8(2x^2 + 3x - 2)} = 0 \] Возведем в квадрат: \[ x^2 - 8(2x^2 + 3x - 2) = 0 \implies -15x^2 -24x +16 = 0 \] Решим квадратное уравнение: \[ x = \frac{-12 \pm \sqrt{1536}}{15} = \frac{-12 \pm 16\sqrt{6}}{15} \] Корни: \(x_1 = \frac{-12 + 16\sqrt{6}}{15}\), \(x_2 = \frac{-12 -16\sqrt{6}}{15}\).
     
     
   • Знаменатель: \[ 2|x - 2| +4 -2x \neq 0 \] Учитывая \(x < 2\), заменяем модуль: \[ 2(2 - x) +4 -2x = 8 -4x \neq 0 \implies x \neq 2 \] Оба корня \(x_1, x_2\) меньше 2 и удовлетворяют условию.
   
   Ответ: \(x = \frac{-12 \pm 16\sqrt{6}}{15}\).
   
   
2. В двух канистрах содержится 48 кг и 42 кг разных растворов соли. При смешивании получается раствор 42%, при равных массах — 40%. Найти разность масс соли.
   Решение:
   • Обозначим массы соли: \(x\) кг в первой канистре 48 кг, \(y\) кг во второй 42 кг.
   • Первое условие: \[ \frac{x + y}{90} = 0,42 \implies x + y = 37,8 \]
   • Второе условие: \[ \frac{\frac{x}{48} + \frac{y}{42}}{2} = 0,4 \implies \frac{x}{48} + \frac{y}{42} = 0,8 \] Решаем систему уравнений: \[ \begin{cases} x + y = 37,8 \\ 42x + 48y = 1612,8 \end{cases} \] Решение: \(x = 33,6\) кг, \(y = 4,2\) кг.
   
   Ответ: разность масс соли \(33,6 - 4,2 = 29,4\) кг.
   
   
3. Найдите все значения \(x\), для которых имеет смысл выражение: \[ \frac{x^2 + x - 6}{\sqrt{4x - x^2 - 3} - \sqrt{x^2 - 2x + 1}} \]
   Решение:
   • Корни: \[ 4x -x^2 -3 \geq 0 \implies x \in [1; 3] \] \[ x^2 -2x +1 = (x-1)^2 \geq 0 \quad \text{(всегда)} \]
   • Знаменатель: \[ \sqrt{4x -x^2 -3} \neq |x-1| \] Решаем уравнение: \[ 4x -x^2 -3 = (x-1)^2 \implies 2x^2 -6x +4 = 0 \implies x = 1\,\text{или}\,2 \] Исключаем \(x = 1\) и \(x = 2\).
   
   Ответ: \(x \in [1; 3]\) исключая \(x = 1\) и \(x = 2\).
   
   
4. В трапеции \(ABCD\) (\(BC \parallel AD\)):
   1. Доказать, что \(\angle ABE = \angle CBE\).
      Решение: Биссектриса угла \(BAD\), проходящая через середину \(CD\), делит угол \(ABC\) пополам благодаря свойствам симметрии и параллельности сторон трапеции. Таким образом, \(BE\) — биссектриса \(\angle ABC\).
      
      
   2. Найти расстояние от \(E\) до прямой \(AB\), если \(AB = 13\), \(AE = 12\).
      Решение: Используем площадь треугольника \(ABE\): \[ S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot h \] Найдем площадь через стороны \(AB = 13\), \(AE = 12\) и угол \(\alpha\): \[ S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AE \cdot \sin\alpha = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 12 \cdot \sin\alpha \] Приравняв: \[ h = \frac{12 \cdot 12 \cdot \sin\alpha}{13} \] Решение дает \(h = \frac{60}{13}\).
   
   Ответ: \(\angle ABE = \angle CBE\); расстояние \( \frac{60}{13} \approx 4,62 \).
   
   
5. Найдите все значения \(a\), при которых неравенство: \[ (a + 2)x > -a -5 \] выполняется при всех \(x \in (-3;1]\).
   Решение:
   • Линейное неравенство должно выполняться на всем интервале. Рассмотрим случаи:
   • Случай \(a + 2 > 0\): \(a > -2\). Чтобы неравенство выполнялось при всех \(x\), минимальное \(x = -3\): \[ (a +2)(-3) > -a -5 \implies a \in (-2; -0,5) \]
   • Случай \(a + 2 = 0\): \(a = -2\). Неравенство выполняется.
   • Случай \(a + 2 < 0\): \(a -a -5 \implies a \in (-3,5; -2)\)
   
   Ответ: \(a \in (-3,5; -0,5)\).