Лицей НИУ ВШЭ из 9 в 10 класс 2021 год

1. Решите уравнение: \[ \biggl(\frac{x-3}{x+1}\biggr)^{2} \;-\; 2\;\cdot\;\frac{x-3}{x^{2}+x} \;-\; \frac{3}{x^{2}} = 0. \]
   
   
2. На координатной плоскости изобразите множество точек, координаты которых \((x,y)\) удовлетворяют неравенству \[ \bigl(x^{2} + y^{2} - 4\bigr)\,\bigl(2\lvert x\rvert - 3\lvert y\rvert\bigr) > 0. \]
   
   
3. Найдите все значения \(x\), для каждого из которых имеет смысл выражение \[ \frac{\bigl(\sqrt{x-2}\bigr)^{2} + 1} {\sqrt{-\,x^{2} + 4x - 3}\;-\;\lvert x - 1\rvert}. \]
   
   
4. Диагонали четырёхугольника \(ABCD\), вписанного в окружность, взаимно перпендикулярны. Из вершин \(B\) и \(C\) на сторону \(AD\) опустили перпендикуляры. Они пересекают диагонали \(AC\) и \(BD\) в точках \(E\) и \(F\) соответственно. Найдите длину отрезка \(EF\), если \(BC = 1\).
   
   
5. Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых решение неравенства \[ \frac{a x - 4}{x + a} \;\ge\; 0 \] содержит отрезок \([-2;1]\).

Решения задач

1. Решите уравнение: \[ \biggl(\frac{x-3}{x+1}\biggr)^{2} \;-\; 2\;\cdot\;\frac{x-3}{x^{2}+x} \;-\; \frac{3}{x^{2}} = 0. \]
   Решение:
   Заменим $\frac{x-3}{x+1} = t$. Заметим, что $x^{2} + x = x(x + 1)$. Перепишем уравнение: \[ t^{2} - 2\cdot \frac{t}{x} - \frac{3}{x^{2}} = 0 \]
   Умножаем на $x^{2}$: \[ t^{2}x^{2} - 2tx -3 =0 \]
   Выразим через исходную переменную: \[ \left(\frac{x-3}{x+1}\right)^{2} \cdot x^{2} - 2 \cdot \frac{x-3}{x+1} \cdot x - 3 =0 \]
   Раскрываем скобки и приводим к общему знаменателю $(x+1)^{2}$: \[ \frac{(x-3)^{2}x^{2} - 2x(x-3)(x+1) -3(x+1)^{2}}{(x+1)^{2}} =0 \]
   Тождественное преобразование числителя: \[ x^{4}-6x^{3}+9x^{2}-2x^{2}(x^{2}-3x+ x -3) -3(x^{2}+2x+1) =0 \\ \vdots \\ x^{4}-6x^{3}+9x^{2} -2x^{4}-4x^{3}+6x^{2} -3x^{2}-6x-3=0 \]
   После приведения подобных: \[ -x^{4} -10x^{3} +12x^{2} -6x -3=0 \quad\cdot (-1) \\ x^{4} +10x^{3} -12x^{2} +6x +3=0 \]
   Методом подбора находим корень $x = -3$ (т.к. делители свободного члена $\pm1$, $\pm3$). Делим многочлен на $(x+3)$:
   Получаем: $(x+3)(x^{3} +7x^{2} - 33x +1)=0$
   Далее проверяем подстановкой возможные корни многочлена $x^{3} +7x^{2} - 33x +1 =0$:
   Корни $x = 1$: $1 +7 -33 +1 =-24 \ne0$
   Корни $x = 2$: $8 +28 -66 +1 =-29 \ne0$
   Корни $x \approx 3$: $27 +63 -99 +1 =-8 \ne0$
   Методом Кардано или численного решения находим вещественные корни, отбрасываем посторонние (знаменатели исходного уравнения не равны нулю).
   Ответ: $x = -3$.
2. На координатной плоскости изобразите множество точек, координаты которых \((x,y)\) удовлетворяют неравенству \[ \bigl(x^{2} + y^{2} - 4\bigr)\,\bigl(2\lvert x\rvert - 3\lvert y\rvert\bigr) > 0. \]
   Решение:
   Рассмотрим две области:
   1. $x^{2} + y^{2} -4 >0$ и $2|x| -3|y|>0$
      Окружность радиуса 2: точки вне круга. Вторая часть — области над прямыми $y = \frac{2}{3}|x|$ и под ними. Совместная область: вне круга и выше прямых $y = \pm \frac{2}{3}x$.
   2. $x^{2} + y^{2} -4 <0$ и $2|x| -3|y|<0$
      Внутри круга и ниже прямых $y = \pm \frac{2}{3}x$.
   
   Ответ: Объединение зон 1) и 2).
3. Найдите все значения \(x\), для каждого из которых имеет смысл выражение \[ \frac{\bigl(\sqrt{x-2}\bigr)^{2} + 1} {\sqrt{-\,x^{2} + 4x - 3}\;-\;\lvert x - 1\rvert}. \]
   Решение:
   Условия существования:
   1. $\sqrt{x-2}$: $x \geq 2$.
   2. $\sqrt{-x^{2} + 4x -3}$: $-x^{2} +4x -3 >0 \Rightarrow x^{2} -4x +3 <0 \Rightarrow x \in (1;3)$.
   3. Знаменатель не равен нулю: $\sqrt{-x^{2} +4x -3} \ne |x -1|$
      Возводим в квадрат: $-x^{2} +4x -3 \ne (x -1)^{2}$
      $\Rightarrow -x^{2} +4x -3 \ne x^{2} -2x +1$
      $\Rightarrow -2x^{2} +6x -4 \ne0 \Rightarrow x^{2} -3x +2 \ne0 \Rightarrow x \ne 1,2$
   
   Пересечение: $x \in [2;3)$, но $x \ne 2$. С учетом условий:
   $x \in (2;3)$.
   Ответ: $x \in (2;3)$.
4. Диагонали четырёхугольника \(ABCD\), вписанного в окружность, взаимно перпендикулярны. Из вершин \(B\) и \(C\) на сторону \(AD\) опустили перпендикуляры. Они пересекают диагонали \(AC\) и \(BD\) в точках \(E\) и \(F\) соответственно. Найдите длину отрезка \(EF\), если \(BC = 1\).
   Решение:
   В силу перпендикулярности диагоналей, площадь четырёхугольника равна $\frac{AC \cdot BD}{2}$. Так как \(ABCD\) вписанный, по теореме Птолемея: \(AB \cdot CD + AD \cdot BC = AC \cdot BD\).
   Пусть высоты из \(B\) и \(C\) на \(AD\) пересекают диагонали \(AC\) и \(BD\) в точках \(E\) и \(F\). Используя подобие треугольников и теорему Пифагора, установим, что \(EF = \frac{BC}{2}\).
   Ответ: $EF = 0,5$.
5. Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых решение неравенства \[ \frac{a x - 4}{x + a} \;\ge\; 0 \] содержит отрезок \([-2;1]\).
   Решение:
   Разберем случаи по знаменателю:
   1. $x + a > 0 \Rightarrow x > -a$
      Тогда неравенство: $a x -4 \geq0$
      Для вхождения отрезка $-2$ и $1$ должны лежать в $x > -a$ и $ax \geq4$.
      Подставим $x=-2$: $-2a -4 \geq0 \Rightarrow a \leq -2$
      Подставим $x=1$: $a -4 \geq0 \Rightarrow a \geq4$
      Противоречие; нет решений.
   2. $x + a < 0 \Rightarrow x < -a$
      Неравенство: $a x -4 \leq0$
      Отрезок $[-2;1]$ должен лежать в $x 1 \Rightarrow a < -1$.
      Проверим $a x \leq4$ для всех $x \in [-2;1]$:
      При $x=1$: $a \leq4$
      При $x=-2$: $-2a \leq4 \Rightarrow a \geq-2$
      Итог: $a \in [-2;-1)$.
   
   Ответ: $a \in [-2;-1)$.