8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей НИУ ВШЭ из 9 в 10 класс 2021 год

Сложность:
Дата экзамена: 2021
Печать
youit.school ©
ЛИЦЕЙ НИУ ВШЭ
Первая часть комплексного теста
Задания по МАТЕМАТИКЕ
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ НАБОР 2021 (10 класс) ДЕМО
Выполните задания (10 баллов).


  1. Вычислите: \[ \bigl(1\tfrac{4}{33}\cdot16{,}5 \;-\; 18\tfrac{3}{4}\bigr)^{-3}. \]
  2. Предприниматель приобрёл два антикварных стола, заплатив за них 225000 рублей, и вскоре продал их, получив 40% прибыли. При этом прибыль от продажи первого стола составила 25%, а от второго — 50%. За какую цену был куплен первый стол?

  3. Вычислите: \[ \Bigl(\tfrac{2}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} \;-\; \tfrac{7}{\sqrt{7}}\Bigr)^{2}. \]
  4. Найдите количество целых значений переменной \(x\), при которых функция \[ f(x) = \bigl(6\sqrt7 - 7\sqrt6\bigr)\,(\sqrt{x} - 2) \] принимает отрицательные значения на отрезке \([0;7]\).

  5. В равнобедренном треугольнике \(ABC\) с основанием \(AC\) проведена медиана \(BM\). Периметр треугольника \(ABC\) равен 18, а периметр треугольника \(ABM\) равен 14. Найдите длину \(BM\).

  6. Ящик, имеющий форму куба с ребром 10 см без одной грани, нужно покрасить со всех сторон снаружи. Найдите площадь поверхности, которую необходимо покрасить. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

  7. Решите уравнение \[ \sqrt{x^2 + 3x - 4} \;=\; 2x - 2. \] В ответе укажите наименьший корень.

  8. Решите уравнение \[ |x - 2| + 2|x + 1| = 9. \] В ответе укажите наибольший корень.

  9. Найдите наименьшее значение функции \[ y(x) = |x - 3| + |2x - 4| + 1. \]

  10. Вычислите коэффициент при \(x^{100}\) в многочлене \[ \bigl(1 + x + x^2 + \dots + x^{100}\bigr)^3 \] после раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Вычислите: $\bigl(1\tfrac{4}{33} \cdot 16{,}5 \;-\; 18\tfrac{3}{4}\bigr)^{-3}.$
    Решение: Преобразуем смешанные числа:
    $1\frac{4}{33} = \frac{37}{33},\quad 18\frac{3}{4} = \frac{75}{4}.$
    Умножим $\frac{37}{33} \cdot 16{,5} = \frac{37}{33} \cdot \frac{33}{2} = \frac{37}{2} = 18{,}5.$
    Вычтем $\frac{75}{4} = 18{,}75$:
    $18{,}5 - 18{,}75 = -0{,}25 = -\frac{1}{4}.$
    Возведём в степень $-3$:
    $\left(-\frac{1}{4}\right)^{-3} = (-4)^3 = -64.$
    Ответ: $-64.$

  2. Предприниматель приобрёл два антикварных стола за 225\,000 рублей и продал с 40% прибыли. Прибыль от первого стола —25\%, от второго —50\%. За какую цену куплен первый стол?
    Решение: Общая выручка: $225\,000 \cdot 1{,}4 = 315\,000$ руб. Пусть цена первого стола $x$ руб., второго — $225\,000-x$ руб. Тогда:
    $1{,}25x + 1{,}5(225\,000 - x) = 315\,000$
    $1{,}25x + 337\,500 - 1{,}5x = 315\,000$
    $-0{,}25x = -22\,500 \quad \Rightarrow \quad x = 90\,000.$
    Ответ: 90\,000 рублей.

  3. Вычислите: $\Bigl(\tfrac{2}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} \;-\; \tfrac{7}{\sqrt{7}}\Bigr)^{2}.$
    Решение: Рационализируем знаменатель:
    $\frac{2}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} = \frac{2(\sqrt{7} + \sqrt{5})}{2} = \sqrt{7} + \sqrt{5}.$
    Упростим выражение:
    $\sqrt{7} + \sqrt{5} - \sqrt{7} = \sqrt{5}.$
    Возведём в квадрат:
    $(\sqrt{5})^2 = 5.$
    Ответ: 5.

  4. Найти количество целых $x$ на отрезке $[0;7]$, при которых функция $f(x) = (6\sqrt7 -7\sqrt6)(\sqrt{x} -2)$ отрицательна.
    Решение: Сравним коэффициенты: $6\sqrt7 \approx 15{,}87 < 7\sqrt6 \approx 17{,}15 \Rightarrow$ коэффициент отрицательный. Тогда:
    $(\sqrt{x} - 2) > 0 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{x} > 2 \quad \Rightarrow \quad x > 4.$
    На отрезке $[0;7]$ целые $x$, удовлетворяющие неравенству: $5,6,7$. Значит, отрицательные значения при $x \in \{0,1,2,3\}$. Ответ: 4 числа.

  5. В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ проведена медиана $BM$. Периметр $ABC$ равен 18, периметр $ABM$ равен 14. Найти длину $BM$.
    Решение: Пусть $AB = BC = x$, $AC = y$. Периметр $ABC$: $2x + y = 18 \Rightarrow y = 18 - 2x.$
    Периметр $ABM$: $AB + BM + AM = x + BM + \frac{y}{2} = 14.$
    Подставим $y = 18 - 2x$:
    $x + BM + 9 - x = 14 \quad \Rightarrow \quad BM = 5.$
    Ответ: 5.

  6. Ящик-куб с ребром 10 см без одной грани. Найти площадь окрашиваемой поверхности.
    Решение: У куба 6 граней. После удаления одной остаётся 5.
    Площадь одной грани: $10 \times 10 = 100$ см².
    Общая площадь: $5 \times 100 = 500$ см².
    Ответ: 500 см².

  7. Решить уравнение: $\sqrt{x^2 + 3x -4} = 2x-2$. Наименьший корень.
    Решение: Возведём в квадрат:
    $x^2 + 3x -4 = 4x^2 -8x +4 \quad \Rightarrow \quad -3x^2 +11x -8 = 0.$
    Корни: $x = 1$ и $x = \frac{8}{3}$. Проверка подтверждает оба корня.
    Наименьший: 1.
    Ответ: 1.

  8. Решить уравнение: $|x-2| +2|x+1| =9$. Наибольший корень.
    Решение: Рассмотрим три случая:
    • $x < -1$: $-x+2 -2x-2 =9 \Rightarrow -3x =9 \Rightarrow x=-3.$
    • $-1 \leq x <2$: $-x+2 +2x+2 =9 \Rightarrow x=5$ (не входит).
    • $x \geq2$: $x-2 +2x+2 =9 \Rightarrow 3x=9 \Rightarrow x=3.$
    Наибольший корень: 3.
    Ответ: 3.

  9. Найти наименьшее значение функции $y = |x -3| + |2x -4| +1$.
    Решение: Перепишем: $|x-3| +2|x-2| +1$.
    Критические точки в $x=2$ и $x=3$. Проверим значения:
    • $x<2$: $y=8-3x \quad \text{min} \quad y=2.$
    • $2 \leq x <3$: $y=x \quad \text{min} \quad y=2.$
    • $x \geq3$: $y=3x-6 \quad \text{min} \quad y=3.$
    Минимум: 2.
    Ответ: 2.

  10. Коэффициент при $x^{100}$ в многочлене $(1 +x+x^2 +\dots +x^{100})^3.$
    Решение: Число решений уравнения $a + b + c =100$, где $0 \leq a,b,c \leq100$.
    Используем формулу сочетаний с повторениями: $C(102,2) = \frac{101 \cdot102}{2} = 5151.$
    Ответ: 5151.
Материалы школы Юайти