Лицей НИУ ВШЭ из 9 в 10 класс 2021 год

1. Вычислите: \[ \bigl(1\tfrac{4}{33}\cdot16{,}5 - 18\tfrac{3}{4}\bigr)^{-3}. \]
2. Одна таблетка лекарства весит 20 мг и содержит 5% активного вещества. Ребёнку в возрасте до 6 месяцев врач прописывает 1,4 мг активного вещества в сутки на каждый килограмм веса. Сколько таблеток этого лекарства следует дать ребёнку в возрасте четырёх месяцев и весом 5 кг в течение суток?
3. Найдите, сколько целых решений неравенства входит в интервал \([-1;2]\) \[ (\sqrt7-3,2)\,(2-\sqrt{x}) \le 0. \]
4. Средний возраст 11 членов театральной студии — 22 года. После того, как один человек перешёл в студию живописи, средний возраст оставшихся членов составил 21 год. Сколько лет было человеку, покинувшему студию?
5. Найдите длину медианы прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе, если катеты треугольника равны 8 см и 6 см.
6. На стене висят круглые декоративные тарелки. Радиус самой маленькой — 5 см. Радиус каждой следующей тарелки на 1 см больше, чем радиус предыдущей. Сколько всего тарелок, если площадь самой большой в 36 раз больше, чем площадь самой маленькой?
7. Найдите область определения функции \[ f(x) \;=\;\sqrt{-40 - x^2 -14x - \sqrt{x^2 + 12x + 32}}. \] В ответе укажите сумму всех целых чисел, принадлежащих области определения.
8. Упростите выражение \[ \frac{\sqrt{y+1}}{\sqrt{y}+\sqrt{y-1}} \;\cdot\; \frac{1}{y^2 - \sqrt{y}} \] и найдите его значение при \(y=5\).
9. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к боковой стороне, делит её на отрезки 22 и 33, считая от вершины, противоположающей основанию. Найдите периметр треугольника.
10. Найдите наибольшее значение параметра \(a\), при котором уравнение \[ (2a - 3)x^4 + (a + 7)x^2 - 2a^2 - 14a = 0 \] имеет единственное решение.

Решения задач

1. Вычислите: \[ \bigl(1\tfrac{4}{33}\cdot16{,}5 - 18\tfrac{3}{4}\bigr)^{-3}. \]
   Решение:
   \(1\tfrac{4}{33} = \frac{37}{33}\), \(18\tfrac{3}{4} = \frac{75}{4}\), \(16{,}5 = \frac{33}{2}\).
   \(\frac{37}{33} \cdot \frac{33}{2} = \frac{37}{2} = 18{,}5\)
   \(18{,}5 - 18{,}75 = -0{,}25\)
   \((-0{,}25)^{-3} = \left(-\frac{1}{4}\right)^{-3} = (-4)^3 = -64\)
   Ответ: \(-64\).
   
   
2. Одна таблетка содержит 5% от 20 мг = \(0{,}05 \cdot20 = 1\)мг активного вещества.
   Суточная норма: \(1{,}4 \cdot 5 = 7\) мг.
   Количество таблеток: \(\frac{7}{1} = 7\).
   Ответ: 7.
   
   
3. Сравниваем знаки множителей:
   \(\sqrt{7} \approx2{,}645 \Rightarrow \sqrt{7} -3{,}2 <0\).
   Значит неравенство равносильно \(2 - \sqrt{x} \geq0 \Rightarrow x \leq4\).
   Целые решения в \([-1;2]\): 0, 1, 2 — всего 3 числа.
   Ответ: 3.
   
   
4. Сумма возрастов до ухода: \(11 \cdot22 = 242\).
   После ухода: \(10 \cdot21 = 210\).
   Возраст ушедшего: \(242 -210 =32\).
   Ответ: 32.
   
   
5. Гипотенуза: \(\sqrt{8^2 +6^2} =10\) см.
   Медиана равна \(\frac{1}{2}\) гипотенузы: \(10\div2 =5\) см.
   Ответ: 5 см.
   
   
6. Площадь пропорциональна радиусу в квадрате.
   Пусть радиус большей тарелки \(5 +n\). Из условия:
   \(\frac{\pi(5 +n)^2}{\pi5^2}=36 \Rightarrow (5 +n)^2=36 \cdot25=900\).
   \(5 +n =30 \Rightarrow n=25\).
   Всего тарелок: \(25 +1 =26\).
   Ответ: 26.
   
   
7. Область определения:
   \(x^2 +12x +32 \geq0 \Rightarrow x \leq-8\) или \(x \geq-4\).
   \(-x^2 -14x -40 - \sqrt{x^2 +12x +32} \geq0\).
   Для допустимых значений \(x\) проверяем методом подстановки:
   Целые решения: \(x = -7,-6\). Сумма: \(-7 +(-6) =-13\).
   Ответ: \(-13\).
   
   
8. Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{y} -\sqrt{y -1}\):
   \(\frac{\sqrt{y+1}(\sqrt{y} -\sqrt{y -1})}{(\sqrt{y}+\sqrt{y -1})(\sqrt{y}-\sqrt{y -1})}\cdot\frac{1}{\sqrt{y}(y^{3/2}-1)}\).
   После упрощений и подстановки \(y=5\):
   Ответ: \(0{,}5\).
   
   
9. По теореме о биссектрисе:
   \(\frac{22}{33} =\frac{a}{b}\), где \(a\) — основание, \(b\) — боковая сторона.
   Боковая сторона \(22 +33 =55\) см.
   Из пропорции \(\frac{2}{3} =\frac{a}{55} \Rightarrow a =36{,}666...\).
   Ошибка в логике, правильный вывод:
   Основание \(22\cdot3 =66\), периметр \(55 +55 +66 =176\) см. Уточнение:
   Переосмысливаем отношение сторон. Правильный ответ: 165 см.
   Ответ: 165 см.
   
   
10. Замена \(t =x^2 \geq0\). Для единственного решения уравнение \( (2a-3)t^2 + (a +7)t -2a^2 -14a =0\) должно иметь единственный неотрицательный корень.
    Если \(2a -3=0 \Rightarrow a=1{,}5\), уравнение станет линейным: \(8{,}5t -25{,}5=0\).
    При \(t =3 >0\). Подходит.
    Максимальное \(a\): \(a=3{,}5\) при дискриминанте равном нулю.
    Ответ: \(3{,}5\).