8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей НИУ ВШЭ из 9 в 10 класс 2020 год вариант 1-4

Сложность:
Дата экзамена: 2020
Сложность:
Дата экзамена: 2020
youit.school ©

ЛИЦЕЙ НИУ ВШЭ


2020 год




  1. Решите уравнение в целых числах: \[ 2x - 3y + 1 = 0 \]

  2. Решите неравенство: \[ x \sqrt{-x^2 + x + 6} \geq \sqrt{-x^2 + x + 6} \]

  3. Изобразите на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих условию: \[ x^2 + y^2 \leq 4x \]

  4. В четырёхугольнике \(ABCD\) известно, что углы \(\angle ABD\) и \(\angle ACD\) равны \(45^\circ\), угол \(\angle BAC = 30^\circ\), \(BC = 1\).

    1. Докажите, что вокруг четырёхугольника \(ABCD\) можно описать окружность.
    2. Найдите \(AD\).


  5. Найдите все значения параметра \(a\), при которых неравенство \[ (x - 3a)(x + 2a + 1) < 0 \] верно для всех \(1 \leq x \leq 3\).
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Решите уравнение в целых числах: \[ 2x - 3y + 1 = 0 \] Решение: Выразим \(x\) через \(y\): \[ 2x = 3y - 1 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{3y - 1}{2} \] Для целочисленности \(x\) выражение \(3y - 1\) должно быть чётным. Пусть \(y = 2k + 1\) (\(k \in \mathbb{Z}\)), тогда: \[ x = \frac{3(2k + 1) - 1}{2} = 3k + 1 \] Все решения: \[ x = 3k + 1, \quad y = 2k + 1 \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Ответ: \((x; y) = (3k + 1; 2k + 1)\), \(k \in \mathbb{Z}\).

  2. Решите неравенство: \[ x \sqrt{-x^2 + x + 6} \geq \sqrt{-x^2 + x + 6} \] Решение: Область определения: \[ -x^2 + x + 6 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \in [-2; 3] \] Преобразуем неравенство: \[ \sqrt{-x^2 + x + 6}(x - 1) \geq 0 \]
    • При \(\sqrt{-x^2 + x + 6} = 0\) (\(x = -2\) или \(x = 3\)): неравенство выполняется.
    • При \(\sqrt{-x^2 + x + 6} > 0\) (\(x \in (-2; 3)\)): \[ x - 1 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq 1 \]
    Объединяя условия: \(x \in \{-2\} \cup [1; 3]\). Ответ: \(x \in \{-2\} \cup [1; 3]\).

  3. Изобразите на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих условию: \[ x^2 + y^2 \leq 4x \] Решение: Преобразуем уравнение: \[ x^2 - 4x + y^2 \leq 0 \quad \Rightarrow \quad (x - 2)^2 + y^2 \leq 4 \] Это уравнение окружности с центром \((2; 0)\) и радиусом 2. Неравенство задаёт замкнутый круг. Ответ: Круг с центром в \((2; 0)\) и радиусом 2.

  4. В четырёхугольнике \(ABCD\):
    1. Докажите, что вокруг четырёхугольника \(ABCD\) можно описать окружность. Решение: Углы \(\angle ABD = \angle ACD = 45^\circ\). Поскольку эти углы опираются на дуги \(AD\), они равны как вписанные углы. Следовательно, точки \(A, B, C, D\) лежат на одной окружности.
    2. Найдите \(AD\). Решение: В треугольнике \(ABC\) (\(\angle BAC = 30^\circ\), \(BC = 1\)): \[ \frac{BC}{\sin 30^\circ} = 2R \quad \Rightarrow \quad R = 1 \] Для окружности радиуса \(R = 1\) длина хорды \(AD\): \[ AD = 2R \sin 45^\circ = \sqrt{2} \] Ответ: \(\sqrt{2}\).


  5. Найдите все значения параметра \(a\), при которых неравенство \[ (x - 3a)(x + 2a + 1) < 0 \] верно для всех \(1 \leq x \leq 3\). Решение: Корни уравнения: \(x_1 = 3a\), \(x_2 = -2a - 1\).
    • Если \(3a < -2a - 1\) (\(a < -1/5\)): интервал \((3a; -2a - 1)\). Для включения \([1; 3]\): \[ 3a \leq 1 \quad \text{и} \quad -2a - 1 \geq 3 \quad \Rightarrow \quad a < -2 \]
    • Если \(3a > -2a - 1\) (\(a > -1/5\)): интервал \((-2a - 1; 3a)\). Для включения \([1; 3]\): \[ -2a - 1 \leq 1 \quad \text{и} \quad 3a \geq 3 \quad \Rightarrow \quad a > 1 \]
    Ответ: \(a \in (-\infty; -2) \cup (1; +\infty)\).
Материалы школы Юайти