Лицей НИУ ВШЭ из 9 в 10 класс 2020 год вариант 1-3
youit.school ©
ЛИЦЕЙ НИУ ВШЭ
2020 год
- Найдите все значения \( x \), для каждого из которых имеет смысл выражение:
\[
\frac{x^2 + 4x - 2}{\sqrt{10x^3 - 6x + x^2 - x + 2}}
\]
- В начале первого года в банк был внесен вклад в размере 2000 рублей. За первый год хранения сумма вклада в банке увеличилась на 200 рублей. Известно, что доход по вкладу начисляется в конце каждого года и прибавляется к вкладу. На сколько рублей увеличится вклад за три года хранения, если процентная ставка по вкладу остается постоянной в течение всего срока хранения, и вкладчик не будет проводить операций по вкладу?
- Найдите значение параметра \( p \), такое, что система уравнений
\[
\begin{cases}
px + y = 24 \\
x + py = 2
\end{cases}
\]
имеет бесконечно много решений. Для этого значения параметра и заданных точек \( A(-2, -1) \), \( B(-2, 4) \) найдите графически точку пересечения прямой \( 2x + py = 1 \) и отрезка \( AB \). В ответе укажите значение параметра и координаты точки пересечения.
- Окружность с центром в точке \( O \) вписана в равнобедренную трапецию \( ABCD \) с боковой стороной \( AB \).
- Докажите, что треугольник \( AOB \) прямоугольный.
- Найдите его площадь, если радиус окружности равен 2, а точка касания делит боковую сторону трапеции в отношении 1:4.
- Найдите все значения параметра \( b \), такие, что уравнение \[ (x + 2)|x - 4| = 2 - b \] имеет ровно три различных решения.
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Найдите все значения \( x \), для каждого из которых имеет смысл выражение:
\[
\frac{x^2 + 4x - 2}{\sqrt{10x^3 - 6x + x^2 - x + 2}}
\]
Решение: Выражение имеет смысл, когда подкоренное выражение положительно:
\[
10x^3 + x^2 - 7x + 2 > 0
\]
Разложим многочлен на множители:
\[
(x + 1)(5x - 2)(2x - 1) > 0
\]
Метод интервалов даёт решение:
\[
x \in (-1; \frac{2}{5}) \cup (\frac{1}{2}; +\infty)
\]
Ответ: \( x \in (-1; \frac{2}{5}) \cup (\frac{1}{2}; +\infty) \).
- Вклад 2000 рублей увеличился на 10% за первый год. Найдём сумму за три года:
\[
2000 \cdot (1.1^3 - 1) = 2000 \cdot 0.331 = 662 \text{ рублей}
\]
Ответ: 662 рубля.
- Система уравнений:
\[
\begin{cases}
px + y = 24 \\
x + py = 2
\end{cases}
\]
Определитель матрицы коэффициентов:
\[
p^2 - 1 = 0 \Rightarrow p = \pm1
\]
При \( p = -1 \) система несовместна. Для прямой \( 2x - y = 1 \) и отрезка \( AB \) (\( A(-2,-1) \), \( B(-2,4) \)) пересечение отсутствует. Ответ: \( p = -1 \), решений нет.
-
- В равнобедренной трапеции с вписанной окружностью биссектрисы углов \( A \) и \( B \) пересекаются под прямым углом. Треугольник \( AOB \) прямоугольный.
- Радиус 2, высота трапеции 4. Отношение отрезков боковой стороны 1:4. Площадь треугольника \( AOB \): \[ S = \frac{5\sqrt{6}}{3} \] Ответ: \( \frac{5\sqrt{6}}{3} \).
- Уравнение \( (x + 2)|x - 4| = 2 - b \). График функции \( y = (x + 2)|x - 4| \) пересекается с прямой \( y = 2 - b \) трижды при: \[ -7 < b < 2 \] Ответ: \( b \in (-7; 2) \).
Материалы школы Юайти