Лицей НИУ ВШЭ из 9 в 10 класс 2020 год вариант 1-2

ЛИЦЕЙ НИУ ВШЭ

2020 год

1. Решите уравнение: \[ \sqrt{4x^2 - 16x + 15} \cdot \left( \left| x^2 - 5x + 5 \right| - 1 \right) = 0 \]
   
   
2. Постройте график уравнения: \[ \frac{x^2 + y^2 - 4y}{y^2 + xy - 6x^2} = 0. \] Найдите все значения \( m \), при которых прямая \( y = m \) имеет с графиком уравнения только одну общую точку.
   
   
3. Найдите область определения функции: *(В исходнике формула отсутствует. При наличии уточнений можно вставить вручную.)*
   
   
4. На стороне \( AC \) остроугольного треугольника \( ABC \) как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны \( AB \) и \( BC \) в точках \( M \) и \( N \) соответственно.
   1. Докажите, что треугольники \( BMN \) и \( ABC \) подобны.
   2. Найдите расстояние от точки пересечения высот треугольника \( ABC \) до вершины \( B \), если известно, что \( AC = 10 \), \( MN = 6 \).
   
   
   
5. Найдите все значения параметра \( a \), при которых система уравнений \[ 2a = x(x - a) \] имеет один корень.

Решения задач

1. Решите уравнение: \[ \sqrt{4x^2 - 16x + 15} \cdot \left( \left| x^2 - 5x + 5 \right| - 1 \right) = 0 \] Решение: Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
   1. Решаем уравнение $\sqrt{4x^2 - 16x + 15} = 0$: \[ 4x^2 - 16x + 15 = 0 \quad \Rightarrow \quad D = 256 - 240 = 16 \] \[ x = \frac{16 \pm 4}{8} \quad \Rightarrow \quad x = 2,5 \quad \text{или} \quad x = 1,5 \]
   2. Решаем уравнение $\left| x^2 - 5x + 5 \right| - 1 = 0$: \[ \left| x^2 - 5x + 5 \right| = 1 \quad \Rightarrow \quad x^2 - 5x + 5 = \pm 1 \]
      • $x^2 - 5x + 4 = 0$: \[ x = 1 \quad \text{или} \quad x = 4 \]
      • $x^2 - 5x + 6 = 0$: \[ x = 2 \quad \text{или} \quad x = 3 \]
      Проверяем область определения $\sqrt{4x^2 - 16x + 15} \geq 0$: \[ 4x^2 - 16x + 15 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \leq 1,5 \quad \text{или} \quad x \geq 2,5 \] Из решений $x = 1, 2, 3, 4$ подходят только $x = 1$ и $x = 4$.
   Ответ: $x = 1; \ 1,5; \ 2,5; \ 4$.
2. Постройте график уравнения: \[ \frac{x^2 + y^2 - 4y}{y^2 + xy - 6x^2} = 0 \] Решение: Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель — нет.
   • Числитель: $x^2 + (y - 2)^2 = 4$ — окружность с центром $(0; 2)$ и радиусом 2.
   • Знаменатель: $y^2 + xy - 6x^2 \neq 0$: \[ y^2 + xy - 6x^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad (y - 2x)(y + 3x) = 0 \] Исключаем точки на прямых $y = 2x$ и $y = -3x$.
   Найдем $m$, при которых прямая $y = m$ имеет с графиком одну общую точку:
   • Касание окружности: $m = 0$ (исключено) и $m = 4$.
   • Пересечение в одной точке с исключением второй точки: \[ y = 2x \cap \text{окружность} \Rightarrow m = \frac{16}{5} \] \[ y = -3x \cap \text{окружность} \Rightarrow m = \frac{18}{5} \]
   Ответ: $m = 4; \ \frac{16}{5}; \ \frac{18}{5}$.
3. Найдите область определения функции: (Условие задачи отсутствует в исходном тексте.)
4. На стороне $AC$ остроугольного треугольника $ABC$ как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно.
   1. Докажите, что треугольники $BMN$ и $ABC$ подобны.
   2. Найдите расстояние от точки пересечения высот треугольника $ABC$ до вершины $B$, если известно, что $AC = 10$, $MN = 6$.
   Решение:
   1. Углы $\angle AMC = \angle ANC = 90^\circ$ (вписанные в окружность). Тогда $BM$ и $BN$ — высоты треугольника $ABC$. Угол $B$ общий, $\angle BMN = \angle BAC$ (соответственные при параллельных). Следовательно, $\triangle BMN \sim \triangle ABC$ по двум углам.
   2. Коэффициент подобия $k = \frac{MN}{AC} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$. Расстояние от ортоцентра до $B$ равно $BH = \frac{2 \cdot S_{ABC}}{AC}$. Из подобия $S_{BMN} = k^2 \cdot S_{ABC}$. Используя соотношения высот, получаем $BH = \frac{25}{3}$.
   Ответ: $\frac{25}{3}$.
5. Найдите все значения параметра $a$, при которых система уравнений \[ 2a = x(x - a) \] имеет один корень. Решение: Преобразуем уравнение: \[ x^2 - ax - 2a = 0 \] Дискриминант: \[ D = a^2 + 8a = a(a + 8) \] Уравнение имеет один корень при $D = 0$: \[ a = 0 \quad \text{или} \quad a = -8 \] Проверка:
   • При $a = 0$: $x^2 = 0$ — один корень.
   • При $a = -8$: $(x + 4)^2 = 0$ — один корень.
   Ответ: $a = 0; \ -8$.