Лицей НИУ ВШЭ из 9 в 10 класс 2020 год вариант 1-1

ЛИЦЕЙ НИУ ВШЭ

2020 год

1. Решите неравенство: \[ \frac{3 - \sqrt{x + 2}}{\sqrt{x + 1} + 1} > 0 \]
   
   
2. Найдите все натуральные \( n \), при которых число \( n^2 + 2n + 30 \) является произведением двух последовательных натуральных чисел.
   
   
3. Из пункта \( A \) в пункт \( B \) вышел пешеход. Одновременно с ним из пункта \( B \) в пункт \( A \) выехал мотоциклист. Встретив в пути пешехода, мотоциклист сразу же развернулся, довёз пешехода до пункта \( B \), а затем тотчас же снова поехал в пункт \( A \). Мотоциклист затратил на дорогу до пункта \( A \) в два с половиной раза больше времени, чем если бы он ехал из пункта \( B \) в пункт \( A \), не подвозя пешехода. Во сколько раз медленнее пешеход добрался бы до пункта \( B \), если бы весь путь от \( A \) до \( B \) он прошёл пешком?
   
   
4. Изобразите множество точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют системе неравенств: \[ \begin{cases} x^2 + y^2 \leq 3, \\ |x| \leq y^2 - 1. \end{cases} \] Найдите расстояние от точки \( A(2;\sqrt{2}) \) до ближайшей точки области, заданной системой неравенств. Укажите расстояние и соответствующую ближайшую точку \( (x; y) \) области.
   
   
5. Окружность, построенная на большем основании \( AD \) трапеции \( ABCD \) как на диаметре, касается меньшего основания и пересекает боковые стороны \( AB \), \( CD \) в точках \( M \), \( N \) соответственно. Найдите меньшее основание трапеции, если радиус окружности равен 3 и \[ AM : MB = DN : NC = 2 : 1. \]
   
   
6. Найдите все значения параметра \( a \), такие что уравнение \[ 3a \cdot |2x - a| + (a - 2x)^2 + 4a^2 + a = 0 \] имеет четыре различных корня.

Решения задач

1. Решите неравенство: \[ \frac{3 - \sqrt{x + 2}}{\sqrt{x + 1} + 1} > 0 \]
   Решение: Область допустимых значений: \[ \begin{cases} x + 2 \geq 0 \\ x + 1 \geq 0 \\ \sqrt{x + 1} + 1 \neq 0 \end{cases} \Rightarrow x \geq -1 \] Знаменатель всегда положителен, поэтому неравенство сводится к: \[ 3 - \sqrt{x + 2} > 0 \Rightarrow \sqrt{x + 2} < 3 \Rightarrow x + 2 < 9 \Rightarrow x < 7 \] С учётом ОДЗ: \[ x \in [-1; 7) \] Ответ: \( x \in [-1; 7) \).
   
   
2. Найдите все натуральные \( n \), при которых число \( n^2 + 2n + 30 \) является произведением двух последовательных натуральных чисел.
   Решение: Пусть \( n^2 + 2n + 30 = k(k+1) \). Преобразуем: \[ k^2 + k - n^2 - 2n - 30 = 0 \] Рассматривая как квадратное уравнение относительно \( k \): \[ D = 1 + 4(n^2 + 2n + 30) = 4n^2 + 8n + 121 \] Дискриминант должен быть полным квадратом: \[ 4n^2 + 8n + 121 = m^2 \Rightarrow (2n + 2)^2 + 117 = m^2 \] Подбором находим \( n = 8 \): \[ 8^2 + 2 \cdot 8 + 30 = 110 = 10 \cdot 11 \] Ответ: \( n = 8 \).
   
   
3. Из пункта \( A \) в пункт \( B \) вышел пешеход. Одновременно с ним из пункта \( B \) в пункт \( A \) выехал мотоциклист. Встретив в пути пешехода, мотоциклист сразу же развернулся, довёз пешехода до пункта \( B \), а затем тотчас же снова поехал в пункт \( A \). Мотоциклист затратил на дорогу до пункта \( A \) в два с половиной раза больше времени, чем если бы он ехал из пункта \( B \) в пункт \( A \), не подвозя пешехода. Во сколько раз медленнее пешеход добрался бы до пункта \( B \), если бы весь путь от \( A \) до \( B \) он прошёл пешком?
   Решение: Пусть скорость пешехода \( v \), мотоциклиста \( u \). Из условия \( u = 3v \). Время пешехода пешком: \( \frac{S}{v} \). Время с подвозом: \( \frac{S}{2v} \). Отношение: \[ \frac{\frac{S}{v}}{\frac{S}{2v}} = 2 \] Ответ: в 2 раза.
   
   
4. Изобразите множество точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют системе неравенств: \[ \begin{cases} x^2 + y^2 \leq 3, \\ |x| \leq y^2 - 1. \end{cases} \] Найдите расстояние от точки \( A(2;\sqrt{2}) \) до ближайшей точки области, заданной системой неравенств. Укажите расстояние и соответствующую ближайшую точку \( (x; y) \) области.
   Решение: Область — пересечение круга \( x^2 + y^2 \leq 3 \) и области \( y^2 \geq |x| + 1 \). Точки пересечения параболы и круга: \( (1, \sqrt{2}) \), \( (-1, 1) \), \( (-1, -1) \), \( (1, -\sqrt{2}) \). Ближайшая точка к \( A(2, \sqrt{2}) \) — \( (1, \sqrt{2}) \). Расстояние: \[ \sqrt{(2 - 1)^2 + (\sqrt{2} - \sqrt{2})^2} = 1 \] Ответ: расстояние 1, точка \( (1, \sqrt{2}) \).
   
   
5. Окружность, построенная на большем основании \( AD \) трапеции \( ABCD \) как на диаметре, касается меньшего основания и пересекает боковые стороны \( AB \), \( CD \) в точках \( M \), \( N \) соответственно. Найдите меньшее основание трапеции, если радиус окружности равен 3 и \[ AM : MB = DN : NC = 2 : 1. \]
   Решение: Пусть \( AD = 6 \), высота трапеции 3. Координаты точек \( M \) и \( N \) на окружности: \[ (2a/3, 2) \text{ и } (6 - 2a/3, 2) \] Решая уравнения окружности, находим \( a = \frac{9 - 3\sqrt{5}}{2} \). Меньшее основание: \[ BC = 3(\sqrt{5} - 1) \] Ответ: \( BC = 3(\sqrt{5} - 1) \).
   
   
6. Найдите все значения параметра \( a \), такие что уравнение \[ 3a \cdot |2x - a| + (a - 2x)^2 + 4a^2 + a = 0 \] имеет четыре различных корня.
   Решение: Замена \( t = |2x - a| \): \[ t^2 + 3a t + 4a^2 + a = 0 \] Условия для четырёх корней: два положительных \( t \), \( D > 0 \): \[ -7a^2 - 4a > 0 \Rightarrow a \in \left(-\frac{4}{7}, 0\right) \] Ответ: \( a \in \left(-\frac{4}{7}, 0\right) \).