8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей НИУ ВШЭ из 9 в 10 класс 2020 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 2020
Сложность:
Дата экзамена: 2020
youit.school ©

ЛИЦЕЙ НИУ ВШЭ


2020 год

  1. Вычислите: \[ 1{,}2 : \left( (-12)^{-2} - \left( 2 \frac{2}{5} \right)^{-2} \right) - 2{,}8 \]
    1. 10
    2. $-10$
    3. $4{,}4$
    4. $-3$
  2. В комнате находятся 80 воздушных шаров — красных и зелёных. Известно, что:
    • по крайней мере один из шаров — красный;
    • из каждой произвольно выбранной пары шаров по крайней мере один — зелёный.
Сколько в комнате красных шаров?
  • 2
  • 78
  • 79
  • 1
  • На счёт в банк 1 января 2019 года был сделан вклад 700 рублей под 20% годовых. Через год (после начисления процентов) со счёта сняли 440 рублей. Найдите сумму, которая будет на счету ещё через год (после начисления процентов).
    1. 568
    2. 540
    3. 480
    4. $374{,}4$
  • Найдите произведение целочисленных отрицательных решений неравенства: \[ -(3x + 4)^2 < 10 - 3(3x - 6)(x + 2) \]
    1. $-1$
    2. 2
    3. $-6$
    4. 24
  • Миша играет в очень интересную компьютерную игру. На каждом следующем уровне он набирает на 6 очков больше, чем на предыдущем. Он посчитал, что на первых 10 уровнях он набрал в сумме столько же очков, что и на следующих за ними 5 уровнях. Сколько очков Миша набрал на первом уровне?
    1. 30
    2. 18
    3. 16
    4. 28
  • Найдите область определения функции \[ f(x) = \frac{6\sqrt{-2x^2 + 7x - 3}}{\sqrt{5x - 5}} \] В ответе укажите сумму целых значений $x$ из области определения.
    1. 5
    2. 0
    3. 1
    4. 6
  • В треугольнике один из углов в 3 раза больше другого, а разность этих углов — 45°. Найдите длину медианы, проведённой из вершины третьего угла, если большая сторона треугольника равна 13,5.
    1. $2{,}25$
    2. $6{,}75$
    3. $4{,}5$
    4. 9
  • Упростите выражение и найдите его значение при \[ x = \frac{5}{63}, y = 17{,}71 \] \[ \left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} - \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} \right) \cdot \frac{y - x}{xy + x^2} \]
    1. $-12{,}6$
    2. $12{,}6$
    3. $-7{,}71$
    4. $7{,}71$
  • Расстояние между пристанями $A$ и $B$ равно 96 км. Из пункта $A$ в пункт $B$ по течению реки отправился плот. Через 1 час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в $B$, немедленно повернула обратно и возвратилась в $A$. К этому времени плот прошёл 45 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения — 5 км/ч.
    1. 25
    2. 24
    3. 16
    4. 28
  • Найдите все значения параметра $p$, при которых уравнение \[ x^2 + (5 - 2p)x + p^2 - 5p + 4 = 0 \] имеет два корня, один из которых положительный, другой — отрицательный. В ответе укажите количество целых значений параметра $p$, удовлетворяющих условию.
    1. 1
    2. 2
    3. 3
    4. 4
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Вычислите: \[ 1{,}2 : \left( (-12)^{-2} - \left( 2 \frac{2}{5} \right)^{-2} \right) - 2{,}8 \] Решение: \[ (-12)^{-2} = \frac{1}{(-12)^2} = \frac{1}{144}, \quad \left(2\frac{2}{5}\right)^{-2} = \left(\frac{12}{5}\right)^{-2} = \left(\frac{5}{12}\right)^2 = \frac{25}{144} \] \[ 1{,}2 : \left(\frac{1}{144} - \frac{25}{144}\right) - 2{,}8 = 1{,}2 : \left(-\frac{24}{144}\right) - 2{,}8 = 1{,}2 \cdot (-6) - 2{,}8 = -7{,}2 - 2{,}8 = -10 \] Ответ: 2) $-10$.

  2. В комнате находятся 80 воздушных шаров — красных и зелёных. Известно, что:
    • по крайней мере один из шаров — красный;
    • из каждой произвольно выбранной пары шаров по крайней мере один — зелёный.
    Сколько в комнате красных шаров? Решение: Если бы красных шаров было $\geq 2$, то пара красных шаров нарушила бы второе условие. Следовательно, красный шар только один.
    Ответ: 4) 1.

  3. На счёт в банк 1 января 2019 года был сделан вклад 700 рублей под 20% годовых. Через год (после начисления процентов) со счёта сняли 440 рублей. Найдите сумму, которая будет на счету ещё через год (после начисления процентов). Решение: \[ 700 \cdot 1{,}2 = 840 \text{ руб. (через год)}, \quad 840 - 440 = 400 \text{ руб.}, \quad 400 \cdot 1{,}2 = 480 \text{ руб.} \] Ответ: 3) 480.

  4. Найдите произведение целочисленных отрицательных решений неравенства: \[ -(3x + 4)^2 < 10 - 3(3x - 6)(x + 2) \] Решение: \[ -(9x^2 + 24x + 16) < 10 - 3(3x^2 - 12) \quad \Rightarrow \quad -9x^2 -24x -16 < 46 -9x^2 \] \[ -24x -16 < 46 \quad \Rightarrow \quad -24x -\frac{62}{24} \approx -2{,}583 \] Целые отрицательные решения: $x = -2, -1$. Произведение: $(-2) \cdot (-1) = 2$.
    Ответ: 2) 2.

  5. Миша играет в очень интересную компьютерную игру. На каждом следующем уровне он набирает на 6 очков больше, чем на предыдущем. Он посчитал, что на первых 10 уровнях он набрал в сумме столько же очков, что и на следующих за ними 5 уровнях. Сколько очков Миша набрал на первом уровне? Решение: Пусть $a_1$ — очки на первом уровне. Сумма первых 10 уровней: \[ S_{10} = \frac{2a_1 + 9 \cdot 6}{2} \cdot 10 = (2a_1 + 54) \cdot 5 \] Сумма уровней 11-15: \[ S_{5} = \frac{2(a_1 + 60) + 4 \cdot 6}{2} \cdot 5 = (a_1 + 72) \cdot 5 \] Уравнение: $(2a_1 + 54) \cdot 5 = (a_1 + 72) \cdot 5 \quad \Rightarrow \quad a_1 = 18$.
    Ответ: 2) 18.

  6. Найдите область определения функции \[ f(x) = \frac{6\sqrt{-2x^2 + 7x - 3}}{\sqrt{5x - 5}} \] В ответе укажите сумму целых значений $x$ из области определения. Решение: \[ 5x - 5 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > 1 \] \[ -2x^2 + 7x - 3 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \in [0{,}5; 3] \] Пересечение: $x \in (1; 3]$. Целые значения: 2, 3. Сумма: $2 + 3 = 5$.
    Ответ: 1) 5.

  7. В треугольнике один из углов в 3 раза больше другого, а разность этих углов — 45°. Найдите длину медианы, проведённой из вершины третьего угла, если большая сторона треугольника равна 13{,}5. Решение: Углы: $22{,}5^\circ$, $67{,}5^\circ$, $90^\circ$. Большая сторона — гипотенуза прямоугольного треугольника. Медиана к гипотенузе равна её половине: \[ \frac{13{,}5}{2} = 6{,}75 \] Ответ: 2) $6{,}75$.

  8. Упростите выражение и найдите его значение при \[ x = \frac{5}{63}, \quad y = 17{,}71 \] \[ \left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} - \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} \right) \cdot \frac{y - x}{xy + x^2} \] Решение: После упрощения выражение принимает вид $-\frac{1}{x}$. Подстановка: \[ -\frac{1}{\frac{5}{63}} = -\frac{63}{5} = -12{,}6 \] Ответ: 1) $-12{,}6$.

  9. Расстояние между пристанями $A$ и $B$ равно 96 км. Из пункта $A$ в пункт $B$ по течению реки отправился плот. Через 1 час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в $B$, немедленно повернула обратно и возвратилась в $A$. К этому времени плот прошёл 45 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения — 5 км/ч. Решение: Время движения плота: $\frac{45}{5} = 9$ ч. Время движения яхты: $9 - 1 = 8$ ч. Уравнение: \[ \frac{96}{v + 5} + \frac{96}{v - 5} = 8 \quad \Rightarrow \quad v = 25 \text{ км/ч} \] Ответ: 1) 25.

  10. Найдите все значения параметра $p$, при которых уравнение \[ x^2 + (5 - 2p)x + p^2 - 5p + 4 = 0 \] имеет два корня, один из которых положительный, другой — отрицательный. В ответе укажите количество целых значений параметра $p$, удовлетворяющих условию. Решение: Произведение корней отрицательно: \[ p^2 - 5p + 4 < 0 \quad \Rightarrow \quad p \in (1; 4) \] Целые значения: 2, 3. Количество: 2.
    Ответ: 2) 2.
Материалы школы Юайти