8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей НИУ ВШЭ из 9 в 10 класс 2019 год вариант 1-5

Сложность:
Дата экзамена: 2019
СкачатьПечать
youit.school ©

ЛИЦЕЙ НИУ ВШЭ


2019 год




  1. Решите уравнение: \[ \left( x^3 + x(\sqrt{x} + 1)^2 - 3x \right) \cdot \left( \frac{x^2 - 1}{x^2 + x} \right) = 0 \]

  2. Две бригады проложили туннель протяжённостью 700 метров, работая навстречу друг другу. Первая бригада прокладывала ежедневно 3 метра, а вторая прокладывала по 2 метра в каждый из первых 50 дней, а потом работала с той же производительностью, что и первая. Пусть \( y \) (в метрах) — координата местоположения бригады, \( t \) — время (в днях). Считая туннель прямолинейным и приняв за начало координат местоположение первой бригады в первый день до начала работы, выполните:

    1. Запишите уравнения движения \( y = f(t) \) каждой бригады.
    2. Постройте графики движения бригад в одной системе координат.
    3. Определите, через сколько дней после начала работы туннель был проложен и сколько метров проложила каждая бригада.


  3. Найдите все значения переменной \( x \), при которых функция \[ y = \frac{\sqrt{9x - 3x^2}}{(4 - x^2)(2x - 1)} \] принимает неотрицательные значения.

  4. В равнобедренной трапеции \( ABCD \) с большим основанием \( AD \) угол при вершине \( D \) равен \( 60^\circ \). Известно, что \( AD = 30 \), \( CD = 15 \).

    1. Докажите, что диагональ трапеции перпендикулярна боковой стороне.
    2. Найдите радиус описанной около трапеции окружности и площадь трапеции.


  5. Найдите все значения параметра \( a \), при которых система неравенств \[ \begin{cases} |x - 3| \leq a, \\ |x - 2a| \leq 5 \end{cases} \] имеет единственное решение.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Решите уравнение: \[ \left( x^3 + x(\sqrt{x} + 1)^2 - 3x \right) \cdot \left( \frac{x^2 - 1}{x^2 + x} \right) = 0 \]
    Решение: Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим отдельно каждый множитель. Первый множитель: \[ x^3 + x(\sqrt{x} + 1)^2 - 3x = x^3 + x(x + 2\sqrt{x} + 1) - 3x = x^3 + x^2 + 2x\sqrt{x} - 2x = x(x^2 + x + 2\sqrt{x} - 2) \] При \( x = 0 \) выражение обращается в ноль, но \( x = 0 \) не входит в ОДЗ (знаменатель второго множителя \( x^2 + x \neq 0 \)). Остальные корни уравнения \( x^2 + x + 2\sqrt{x} - 2 = 0 \) аналитически не выражаются и не являются рациональными. Второй множитель: \[ \frac{x^2 - 1}{x^2 + x} = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 1 \] Проверка ОДЗ: \( x \neq 0 \), \( x \neq -1 \). Из решений \( x = 1 \) и \( x = -1 \) подходит только \( x = 1 \). Ответ: \( x = 1 \).

  2. Две бригады проложили туннель протяжённостью 700 метров.
    1. Уравнения движения:
      Первая бригада: \( y_1(t) = 3t \), где \( t \geq 0 \).
      Вторая бригада: \[ y_2(t) = \begin{cases} 700 - 2t, & 0 \leq t \leq 50, \\ 750 - 3t, & t > 50. \end{cases} \]
    2. Графики движения: линейные функции с изменением углового коэффициента для второй бригады в точке \( t = 50 \).
    3. Время завершения работы найдём из условия встречи: \[ 3t = 750 - 3t \quad \Rightarrow \quad t = 125 \text{ дней}. \] Первая бригада проложила \( 3 \cdot 125 = 375 \) м, вторая — \( 700 - 375 = 325 \) м.
    Ответ: 125 дней; 375 м и 325 м.

  3. Найдите все \( x \), при которых функция \( y = \frac{\sqrt{9x - 3x^2}}{(4 - x^2)(2x - 1)} \) неотрицательна.
    Решение:
    • ОДЗ: \( 9x - 3x^2 \geq 0 \Rightarrow x \in [0; 3] \), \( x \neq \pm 2 \), \( x \neq 0.5 \).
    • Знаки числителя и знаменателя:
      • Числитель \( \sqrt{9x - 3x^2} \geq 0 \) при \( x \in [0; 3] \).
      • Знаменатель: \( (4 - x^2)(2x - 1) \).
      Анализ интервалов:
      • \( x \in [0; 0.5) \cup (2; 3] \): знаменатель отрицателен ⇒ \( y \leq 0 \).
      • \( x \in (0.5; 2) \): знаменатель положителен ⇒ \( y \geq 0 \).
      • Граничные точки: \( x = 0 \), \( x = 3 \) ⇒ \( y = 0 \).
    Ответ: \( x \in \{0\} \cup (0.5; 2) \cup \{3\} \).

  4. Равнобедренная трапеция \( ABCD \):
    1. Доказательство перпендикулярности диагонали \( AC \) и стороны \( CD \):
      Используя координаты вершин и скалярное произведение векторов \( \overrightarrow{AC} \) и \( \overrightarrow{CD} \), получаем: \[ \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{CD} = 22.5 \cdot 7.5 - \frac{(15\sqrt{3})^2}{4} = 0 \quad \Rightarrow \quad AC \perp CD. \]
    2. Радиус описанной окружности равен половине гипотенузы \( AD \) прямоугольного треугольника \( ACD \): \[ R = \frac{AD}{2} = 15. \] Площадь трапеции: \[ S = \frac{(AD + BC) \cdot h}{2} = \frac{(30 + 15) \cdot \frac{15\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{675\sqrt{3}}{4}. \]
    Ответ: \( R = 15 \), \( S = \frac{675\sqrt{3}}{4} \).

  5. Система неравенств \( |x - 3| \leq a \), \( |x - 2a| \leq 5 \). Единственное решение при:
    • \( a = 0 \): \( x = 3 \).
    • \( a = 8 \): \( x = 11 \).
    Ответ: \( a \in \{0, 8\} \).
Материалы школы Юайти