Лицей НИУ ВШЭ из 9 в 10 класс 2019 год вариант 1-4
СкачатьПечать
youit.school ©
ЛИЦЕЙ НИУ ВШЭ
2019 год
- Решите неравенство:
\[
(x - 1)^3 + \frac{27}{x^2(x - 1)} + 27 \leq \frac{9x^2(x - 1)^2 + 27}{x^3}
\]
- Найдите наибольшее натуральное число \( n \), при котором число \( 107! \) делится нацело на \( 3^n \).
- Конькобежцы Иванов, Петров и Сидоров одновременно стартуют из одного и того же места круговой дорожки. Иванов начинает движение в направлении, противоположном направлению движения Петрова и Сидорова, и спустя некоторое время встречает Петрова, а ещё через десять секунд — Сидорова. Через три минуты и двадцать секунд после старта Петров обогнал Сидорова на один круг. Скорости конькобежцев постоянны. Через сколько секунд после старта Иванов встретился с Сидоровым?
- Изобразите множество точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют системе неравенств:
\[
\begin{cases}
x^2 + y^2 - 2x \leq 3, \\
y^2 - |x| > 0.
\end{cases}
\]
- Окружность проходит через вершины \( C \) и \( D \) большей боковой стороны прямоугольной трапеции \( ABCD \) и касается боковой стороны \( AB \) в точке \( K \). Найдите расстояние от точки \( K \) до прямой \( CD \), если длины оснований \( AD = 9 \) и \( BC = 7 \).
- Найдите все значения параметра \( a \), такие, что уравнение \[ 2a^4 - 2|x^2 - a| = |x^2 + a| \] имеет четыре различных корня.
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Решите неравенство:
\[
(x - 1)^3 + \frac{27}{x^2(x - 1)} + 27 \leq \frac{9x^2(x - 1)^2 + 27}{x^3}
\]
Решение:
Приведём обе части к общему знаменателю \(x^3(x - 1)\) и упростим: \[ (x - 1)^4 x^3 + 27x + 27x^3(x - 1) \leq 9x^2(x - 1)^3 + 27(x - 1) \] После сокращения и группировки слагаемых получим: \[ (x - 1)^3 x^2(x - 4) + 27x(x - 1)(x - 2) \leq 0 \] Разложив на множители и учитывая ОДЗ (\(x \neq 0, 1\)), получим решение: \[ x \in (-\infty; 0) \cup [2; 4] \] Ответ: \(x \in (-\infty; 0) \cup [2; 4]\).
- Найдите наибольшее натуральное число \( n \), при котором число \( 107! \) делится нацело на \( 3^n \).
Решение:
Показатель степени 3 в разложении \(107!\) вычисляется по формуле: \[ \left\lfloor \frac{107}{3} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{107}{9} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{107}{27} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{107}{81} \right\rfloor = 35 + 11 + 3 + 1 = 50 \] Ответ: 50.
- Конькобежцы Иванов, Петров и Сидоров одновременно стартуют из одного места круговой дорожки. Иванов движется против направления Петрова и Сидорова. Первая встреча Иванова с Петровым происходит через \( t \) секунд, с Сидоровым — через \( t + 10 \) секунд. Через 200 секунд Петров обгоняет Сидорова на круг.
Решение:
Составим систему уравнений для скоростей \(v\), \(u\), \(w\) и длины круга \(L\): \[ \begin{cases} (v + u)t = L \\ (v + w)(t + 10) = L \\ (u - w) \cdot 200 = L \end{cases} \] Решая систему, находим \(t = 40\) секунд. Время встречи Иванова и Сидорова: \(t + 10 = 50\) секунд.
Ответ: 50 секунд.
- Изобразите множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих системе:
\[
\begin{cases}
(x - 1)^2 + y^2 \leq 4, \\
y^2 > |x|.
\end{cases}
\]
Решение:
Первое неравенство задаёт круг с центром \((1; 0)\) и радиусом 2. Второе неравенство определяет область вне парабол \(y^2 = |x|\). Пересечение — часть круга, лежащая выше \(y = \sqrt{x}\) и ниже \(y = -\sqrt{x}\) при \(x \geq 0\), и аналогично для \(x < 0\).
Ответ: Заштрихованная область внутри круга, но вне парабол.
- Окружность проходит через вершины \(C\) и \(D\) трапеции \(ABCD\) и касается стороны \(AB\) в точке \(K\). Расстояние от \(K\) до прямой \(CD\):
Решение:
Используя свойства касательной и хорды, а также подобие треугольников, находим высоту трапеции \(h = 12\). Расстояние от \(K\) до \(CD\) вычисляется как: \[ \frac{|9h/2 - b|}{\sqrt{h^2/4 + 1}} = \frac{54}{\sqrt{37}} \approx 8.86 \] Ответ: \(\frac{54}{\sqrt{37}}\).
- Найдите все значения параметра \(a\), при которых уравнение
\[
2a^4 - 2|x^2 - a| = |x^2 + a|
\]
имеет четыре различных корня.
Решение:
Анализ случаев для \(a \geq 0\) и \(a < 0\) показывает, что четыре корня существуют при: \[ 1 < a < \sqrt[3]{\frac{3}{2}} \] Ответ: \(a \in \left(1; \sqrt[3]{\dfrac{3}{2}}\right)\).
Материалы школы Юайти