Лицей НИУ ВШЭ из 9 в 10 класс 2019 год вариант 1-3

ЛИЦЕЙ НИУ ВШЭ

2019 год

1. При каких \( a \) и \( b \) многочлен \[ P(x) = abx^3 + (a + b)x^2 + 1 \] делится на \( x^2 - 4x + 3 \)?
   
   
2. На графике многочлена с целыми коэффициентами отмечены две точки с целыми координатами. Известно, что расстояние между ними — целое число. Докажите, что соединяющий их отрезок параллелен оси абсцисс.
   
   
3. Два правильных тетраэдра \( DABC \) и \( FABC \) имеют общее основание \( ABC \) и расположены по разные стороны от него. Найдите косинус угла между прямыми \( AD \) и \( BF \), если ребро каждого тетраэдра равно 1.
   
   
4. Все рёбра правильной треугольной призмы \( A_1B_1C_1ABC \) равны 2. Найдите расстояние между прямыми \( A_1B \) и \( B_1C \).
   
   
5. В равносторонний треугольник со стороной 1 поместили 30 точек. Докажите, что среди этих точек найдутся хотя бы 4 точки, которые можно накрыть кругом радиуса \( \frac{1}{5} \).
   
   
6. В группе лицеистов не менее $70\%$ любят уроки английского языка, не менее $75\%$ — уроки физкультуры, не менее $80\%$ — алгебру и не менее $85\%$ — математический анализ. Каково наименьшее количество учащихся, которые вообще любят учиться и с радостью посещают уроки английского языка, физкультуры, алгебры и математического анализа? Ответ обоснуйте.

Решения задач

1. При каких \( a \) и \( b \) многочлен \[ P(x) = abx^3 + (a + b)x^2 + 1 \] делится на \( x^2 - 4x + 3 \)?
   Решение: Разложим делитель на множители: \( x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3) \). Для делимости \( P(x) \) должен обращаться в ноль при \( x = 1 \) и \( x = 3 \): \[ \begin{cases} ab \cdot 1^3 + (a + b) \cdot 1^2 + 1 = 0 \\ ab \cdot 3^3 + (a + b) \cdot 3^2 + 1 = 0 \end{cases} \] Упростим систему: \[ \begin{cases} ab + a + b + 1 = 0 \\ 27ab + 9(a + b) + 1 = 0 \end{cases} \] Из первого уравнения выразим \( ab = -a - b - 1 \). Подставим во второе: \[ 27(-a - b - 1) + 9(a + b) + 1 = 0 \implies -18a - 18b - 26 = 0 \implies a + b = -\frac{13}{9} \] Тогда \( ab = -(-\frac{13}{9} + 1) = \frac{4}{9} \). Решая квадратное уравнение \( t^2 + \frac{13}{9}t + \frac{4}{9} = 0 \), получим корни \( t = -1 \) и \( t = -\frac{4}{9} \).
   Ответ: \( a = -1, b = -\frac{4}{9} \) или \( a = -\frac{4}{9}, b = -1 \).
   
   
2. На графике многочлена с целыми коэффициентами отмечены две точки с целыми координатами. Известно, что расстояние между ними — целое число. Докажите, что соединяющий их отрезок параллелен оси абсцисс.
   Решение: Пусть точки \( (m, f(m)) \) и \( (n, f(n)) \), где \( m, n \in \mathbb{Z} \). Расстояние между ними: \[ \sqrt{(m - n)^2 + (f(m) - f(n))^2} \in \mathbb{Z} \] Так как \( f(m) - f(n) \) делится на \( m - n \) (по теореме о конечных разностях для многочленов), обозначим \( d = m - n \), тогда \( f(m) - f(n) = d \cdot k \), где \( k \in \mathbb{Z} \). Расстояние: \[ \sqrt{d^2 + (dk)^2} = |d|\sqrt{1 + k^2} \] Это целое число только если \( k = 0 \), значит \( f(m) = f(n) \), отрезок горизонтален.
3. Два правильных тетраэдра \( DABC \) и \( FABC \) имеют общее основание \( ABC \) и расположены по разные стороны от него. Найдите косинус угла между прямыми \( AD \) и \( BF \), если ребро каждого тетраэдра равно 1.
   Решение: Введём координаты. Пусть \( A(0,0,0) \), \( B(1,0,0) \), \( C(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2},0) \). Высота тетраэдра \( h = \sqrt{1^2 - (\frac{\sqrt{3}}{3})^2} = \frac{\sqrt{6}}{3} \). Тогда: \[ D\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{6}, \frac{\sqrt{6}}{3}\right), \quad F\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{6}, -\frac{\sqrt{6}}{3}\right) \] Векторы: \[ \overrightarrow{AD} = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{6}, \frac{\sqrt{6}}{3}\right), \quad \overrightarrow{BF} = \left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{6}, -\frac{\sqrt{6}}{3}\right) \] Косинус угла: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BF}}{|\overrightarrow{AD}| \cdot |\overrightarrow{BF}|} = \frac{-\frac{1}{4} + \frac{1}{12} - \frac{2}{3}}{1 \cdot 1} = -\frac{5}{6} \] Ответ: \( -\frac{5}{6} \).
   
   
4. Все рёбра правильной треугольной призмы \( A_1B_1C_1ABC \) равны 2. Найдите расстояние между прямыми \( A_1B \) и \( B_1C \).
   Решение: Координаты точек: \[ A(0,0,0), B(2,0,0), C(1,\sqrt{3},0), A_1(0,0,2), B_1(2,0,2), C_1(1,\sqrt{3},2) \] Направляющие векторы прямых: \[ \overrightarrow{A_1B} = (2,0,-2), \quad \overrightarrow{B_1C} = (-1,\sqrt{3},-2) \] Вектор нормали: \[ \vec{n} = \overrightarrow{A_1B} \times \overrightarrow{B_1C} = (2\sqrt{3}, 6, 2\sqrt{3}) \] Вектор между точками \( A_1(0,0,2) \) и \( B_1(2,0,2) \): \( (2,0,0) \). Расстояние: \[ d = \frac{|\vec{n} \cdot \overrightarrow{A_1B_1}|}{|\vec{n}|} = \frac{|2 \cdot 2\sqrt{3} + 0 \cdot 6 + 0 \cdot 2\sqrt{3}|}{\sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 6^2 + (2\sqrt{3})^2}} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{60}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{15}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \] Ответ: \( \frac{2}{\sqrt{5}} \).
   
   
5. В равносторонний треугольник со стороной 1 поместили 30 точек. Докажите, что среди этих точек найдутся хотя бы 4 точки, которые можно накрыть кругом радиуса \( \frac{1}{5} \).
   Решение: Разобьём треугольник на 9 маленьких равносторонних треугольников со стороной \( \frac{1}{3} \). Высота малого треугольника \( h = \frac{\sqrt{3}}{6} < \frac{1}{5} \). По принципу Дирихле: \( \frac{30}{9} = 3.\overline{3} \), значит, в одном треугольнике ≥4 точек. Круг радиуса \( \frac{1}{5} \) покроет такой треугольник.
   
   
6. В группе лицеистов не менее $70\%$ любят английский, $75\%$ — физкультуру, $80\%$ — алгебру, $85\%$ — матанализ. Каково наименьшее количество учащихся, которые любят все предметы?
   Решение: Используем принцип включения-исключения. Минимальное пересечение: \[ 70\%+ 75\%+ 80\%+ 85\%- 3 \cdot 100\%= 10\% \] Наименьшее \( N \), где \( 10\%N \) — целое: \( N = 20 \) (10% от 20 = 2).
   Ответ: 20.