Лицей НИУ ВШЭ из 9 в 10 класс 2019 год вариант 1-2

ЛИЦЕЙ НИУ ВШЭ

2019 год

1. На окружности имеются синие и красные точки. Разрешается добавить или убрать красную точку и поменять цвета её соседей. Менее двух точек оставлять не разрешается. Пусть первоначально были две точки: одна красная и одна синяя. Можно ли через 100 операций получить ровно 50 красных точек?
   
   
2. Костя написал два числа, не содержащих в записи нулей, и заменил цифры буквами (разные цифры — разными буквами). Оказалось, что число $\texttt{КРОКОДИЛЛЛ}$ делится на 312. Докажите, что число $\texttt{ГОРИЛЛА}$ не делится на 392.
   
   
3. Дан выпуклый четырёхугольник \(ABCD\), в котором \(AD + BC = CD\). Биссектрисы углов \(\angle BCD\) и \(\angle CDA\) пересекаются в точке \(S\). Докажите, что \(AS = BS\).
   
   
4. Будем называть \(n\)-цепочкой число, которое можно получить из чисел от 1 до \(n\), написав их друг за другом в некотором порядке без пробелов. Например, возможный вариант 11-цепочки: 3764581121910. Для какого наименьшего \(n > 1\) существует \(n\)-цепочка, являющаяся палиндромом? Напомним, что палиндром — это число, читающееся одинаково слева направо и справа налево, например, 12321. Палиндром не может начинаться с нуля.
   
   
5. В каждой клетке таблицы \(4 \times 4\) записано целое число. Может ли так оказаться, что все 8 сумм по строкам и по столбцам будут различными степенями двойки?
   
   
6. Каждую грань кубика разбили на четыре одинаковых квадрата, а затем раскрасили эти квадраты в несколько цветов так, что квадраты, имеющие общую сторону, оказались окрашенными в различные цвета. Какое наибольшее количество квадратов одного цвета могло получиться?
   
   
7. Прямоугольник с целыми длинами сторон разбит на двенадцать квадратов со следующими длинами сторон: 2, 2, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 8, 8, 9, 9. Каков периметр прямоугольника?
   
   
8. Рассмотрим прямоугольник из 2 строк и 2019 столбцов. Нужно закрасить каждую клетку в один из трёх цветов так, чтобы соседние по стороне клетки были разных цветов. Сколько существует различных раскрасок?
   
   
9. В трапеции \(ABCD\) точки \(M\) и \(N\) являются серединами оснований \(AB\) и \(CD\) соответственно. Точка \(P\) принадлежит отрезку \(MN\). Докажите, что площади треугольников \(ADP\) и \(BCP\) равны.
   
   
10. Точка \(D\) лежит на дуге \(BC\) описанной окружности равностороннего треугольника \(ABC\), не содержащей точки \(A\). Точка \(E\) симметрична \(B\) относительно прямой \(CD\). Докажите, что точки \(A\), \(D\) и \(E\) лежат на одной прямой.

Решения задач

1. Задача 1. На окружности имеются синие и красные точки. Разрешается добавить или убрать красную точку и поменять цвета её соседей. Менее двух точек оставлять не разрешается. Пусть первоначально были две точки: одна красная и одна синяя. Можно ли через 100 операций получить ровно 50 красных точек?
   Решение: Рассмотрим инвариант — количество красных точек по модулю 2. Изначально имеем 1 красную точку ($1 \mod 2$). Каждая операция меняет цвет двух соседних точек (при добавлении/удалении), что изменяет количество красных точек на чётное число. После 100 операций (чётное количество) чётность сохранится. Но 50 — чётное число, а начальное значение было нечётным. Следовательно, получить 50 красных точек невозможно.
   Ответ: Нет.
   
   
2. Задача 2. Костя написал два числа, не содержащих в записи нулей, и заменил цифры буквами (разные цифры — разными буквами). Оказалось, что число $\texttt{КРОКОДИЛЛЛ}$ делится на 312. Докажите, что число $\texttt{ГОРИЛЛА}$ не делится на 392.
   Решение: 312 = 8 × 39 = 8 × 3 × 13. Для делимости $\texttt{КРОКОДИЛЛЛ}$ на 8 последние три цифры $(\texttt{ЛЛЛ})$ должны делиться на 8. Тогда $\texttt{ЛЛ}$ в $\texttt{ГОРИЛЛА}$ также делится на 4. Для делимости $\texttt{ГОРИЛЛА}$ на 392 = 8 × 49 необходимо, чтобы $\texttt{ЛЛА}$ делилось на 8 и всё число делилось на 49. Но $\texttt{ЛЛЛ}$ ≡ 0 mod 8 ⇒ $\texttt{ЛЛ}$ ≡ 0 mod 4 ⇒ $\texttt{ЛЛА}$ ≡ $\texttt{А}$ mod 8. Поскольку $\texttt{А}$ ≠ 0 (число не начинается с нуля), $\texttt{ЛЛА}$ не делится на 8. Противоречие.
   Ответ: Доказано.
   
   
3. Задача 3. Дан выпуклый четырёхугольник \(ABCD\), в котором \(AD + BC = CD\). Биссектрисы углов \(\angle BCD\) и \(\angle CDA\) пересекаются в точке \(S\). Докажите, что \(AS = BS\).
   Решение: Пусть \(E\) — точка на \(CD\) такая, что \(CE = BC\). Тогда \(ED = AD\). Биссектрисы углов \(BCD\) и \(CDA\) совпадают с серединными перпендикулярами отрезков \(BC\) и \(AD\). Точка \(S\) равноудалена от \(A\) и \(B\) по свойству биссектрис и равенства \(AD + BC = CD\).
   Ответ: Доказано.
   
   
4. Задача 4. Для какого наименьшего \(n > 1\) существует \(n\)-цепочка, являющаяся палиндромом?
   Решение: Минимальное \(n = 19\). Пример: цепочка, начинающаяся с 1, 2, ..., 9, 10, 11, ..., 19, и симметрично отражённая. Например: 12345678910987654321 (для \(n=10\) не подходит из-за нуля). Для \(n=19\) можно построить палиндром без нулей.
   Ответ: 19.
   
   
5. Задача 5. Может ли таблица \(4 \times 4\) иметь все 8 сумм по строкам и столбцам различными степенями двойки?
   Решение: Нет. Сумма всех строк равна сумме всех столбцов. Сумма различных степеней двойки (среди 8 чисел) будет нечётной только при наличии ровно одной нечётной степени (1). Но тогда общая сумма строк и столбцов не совпадёт по чётности. Противоречие.
   Ответ: Нет.
   
   
6. Задача 6. Какое наибольшее количество квадратов одного цвета может получиться на кубике?
   Решение: Максимум 12. Раскрасим кубик в два цвета шахматным порядком: на каждой грани 2 квадрата каждого цвета. Всего 6 × 2 = 12 квадратов одного цвета. Больше невозможно из-за условия разноцветности соседей.
   Ответ: 12.
   
   
7. Задача 7. Периметр прямоугольника, разбитого на квадраты со сторонами 2, 2, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 8, 8, 9, 9.
   Решение: Сумма площадей квадратов: \(2(2^2 + 3^2 + 5^2 + 7^2 + 8^2 + 9^2) = 464\). Размеры прямоугольника: 36 × 13 (проверка компоновки). Периметр: \(2(36 + 13) = 98\).
   Ответ: 98.
   
   
8. Задача 8. Количество раскрасок таблицы \(2 \times 2019\) тремя цветами.
   Решение: Для первой строки: \(3 \cdot 2^{2018}\) вариантов. Для второй строки: \(2^{2019}\) вариантов. Итого: \(3 \cdot 2^{2018} \cdot 2^{2019} = 3 \cdot 2^{4037}\).
   Ответ: \(3 \cdot 2^{4037}\).
   
   
9. Задача 9. Доказать равенство площадей треугольников \(ADP\) и \(BCP\).
   Решение: Средняя линия \(MN\) делит трапецию на две части равной площади. Точка \(P\) на \(MN\) сохраняет равенство высот треугольников \(ADP\) и \(BCP\) относительно оснований \(AD\) и \(BC\). Следовательно, площади равны.
   Ответ: Доказано.
   
   
10. Задача 10. Доказать, что точки \(A\), \(D\), \(E\) лежат на одной прямой.
    Решение: При симметрии относительно \(CD\) точка \(B\) переходит в \(E\). Угол \(CDE = CDB\). Так как \(ABC\) равносторонний, углы при \(D\) на окружности обеспечивают коллинеарность \(A\), \(D\), \(E\).
    Ответ: Доказано.