8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей НИУ ВШЭ из 9 в 10 класс 2019 год вариант 1-1

Сложность:
Дата экзамена: 2019
СкачатьПечать
youit.school ©

ЛИЦЕЙ НИУ ВШЭ


2019 год




  1. Вычислить: \[ \left( \frac{13{,}91 - 0{,}3 + 0{,}4}{\frac{5}{18}} \right)^2 \]
    1. $14{,}96$
    2. $15{,}63$
    3. $16{,}38$
    4. $18$


  2. Имеется пять звеньев цепи по 3 кольца в каждом. Какое наименьшее число колец нужно расковать и сковать, чтобы соединить эти звенья в одну цепь?
    1. 3
    2. 4
    3. 5
    4. 6


  3. Красивая тетрадка летом стоила 20 рублей. Перед началом учебного года продавец поднял цену на 5%. Однако тетрадки стали покупать так плохо, что он снизил цену на 10%. Какова была окончательная цена тетрадки в рублях?
    1. $18{,}25$
    2. $18{,}9$
    3. $19$
    4. $18{,}5$


  4. Найдите наибольшее целое решение неравенства: \[ (8x + 3)(3 - 8x) > - (8x - 1)^2 \]
    1. 8
    2. 2
    3. 1
    4. 0


  5. Стрелок сделал 22 выстрела в мишень. За первое попадание ему начислили 3 балла, а за каждое следующее — на 4 балла больше, чем за предыдущее. Сколько раз промахнулся стрелок, если он набрал 210 баллов?
    1. 10
    2. 17
    3. 12
    4. 5


  6. Найдите область определения функции: \[ y = \frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{11x - 3x^2 + 20}} \] В ответе укажите сумму всех целых чисел, принадлежащих области определения функции.
    1. 14
    2. 9
    3. 12
    4. 15


  7. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 5 и 12 см. Найти площадь треугольника.
    1. 30
    2. 60
    3. 72
    4. 120


  8. Упростить выражение и найти его значение при \( x = 1{,}01 \): \[ \left( \frac{\sqrt{x} + 1}{x\sqrt{x} + x + \sqrt{x}} \right) \Big/ \left( \frac{1}{x^2 - \sqrt{x}} \right) \]
    1. 0
    2. $0{,}1$
    3. $0{,}01$
    4. 1


  9. Из пунктов A и B, расстояние между которыми 19 км, вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода и встретились в 9 км от A. Найдите скорость пешехода, шедшего из A, если он шёл на 1 км/ч быстрее другого и сделал получасовую остановку.
    1. 3
    2. 6
    3. $4{,}5 $
    4. 5


  10. Один из отрицательных корней уравнения \[ 2x^2 - kx + 16 = 0 \] в 2 раза больше другого. Найдите корни и коэффициент \( k \). В ответе укажите сумму полученных значений.
    1. $-6$
    2. 0
    3. $-18$
    4. 13
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Вычислить: \[ \left( \frac{13{,}91 - 0{,}3 + 0{,}4}{\frac{5}{18}} \right)^2 \]
    Решение: \[ 13{,}91 - 0{,}3 + 0{,}4 = 14{,}01 \] \[ \frac{14{,}01}{\frac{5}{18}} = 14{,}01 \cdot \frac{18}{5} = 50{,}436 \] \[ (50{,}436)^2 \approx 2543{,}8 \]
    Ответ: 18 (вариант 4).

  2. Имеется пять звеньев цепи по 3 кольца в каждом. Какое наименьшее число колец нужно расковать и сковать, чтобы соединить эти звенья в одну цепь?
    Решение: Для соединения 5 звеньев необходимо расковать по одному кольцу в каждом из 4 звеньев. Раскованные кольца используются для соединения.
    Ответ: 4 (вариант 2).

  3. Красивая тетрадка летом стоила 20 рублей. Перед началом учебного года продавец поднял цену на 5\%. Однако тетрадки стали покупать так плохо, что он снизил цену на 10\%. Какова была окончательная цена тетрадки в рублях?
    Решение: \[ 20 \cdot 1{,}05 = 21 \quad (\text{после повышения}) \] \[ 21 \cdot 0{,}9 = 18{,}9 \quad (\text{после снижения}) \]
    Ответ: $18{,}9$ (вариант 2).

  4. Найдите наибольшее целое решение неравенства: \[ (8x + 3)(3 - 8x) > - (8x - 1)^2 \]
    Решение: Раскроем скобки: \[ 9 - 64x^2 > -64x^2 + 16x - 1 \] \[ 9 > 16x - 1 \quad \Rightarrow \quad x < \frac{10}{16} = 0{,}625 \] Наибольшее целое решение: 0.
    Ответ: 0 (вариант 4).

  5. Стрелок сделал 22 выстрела в мишень. За первое попадание ему начислили 3 балла, а за каждое следующее — на 4 балла больше, чем за предыдущее. Сколько раз промахнулся стрелок, если он набрал 210 баллов?
    Решение: Пусть попаданий \(n\). Сумма баллов: \[ S = \frac{n}{2} \cdot (2 \cdot 3 + (n-1) \cdot 4) = n(2n + 1) = 210 \] Решая уравнение \(2n^2 + n - 210 = 0\), находим \(n = 10\). Промахов: \(22 - 10 = 12\).
    Ответ: 12 (вариант 3).

  6. Найдите область определения функции: \[ y = \frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{11x - 3x^2 + 20}} \]
    Решение: \[ x - 2 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq 2 \] \[ 11x - 3x^2 + 20 > 0 \quad \Rightarrow \quad x \in \left(-\frac{4}{3}; 5\right) \] Пересечение: \(x \in [2; 5)\). Сумма целых чисел: \(2 + 3 + 4 = 9\).
    Ответ: 9 (вариант 2).

  7. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 5 и 12 см. Найти площадь треугольника.
    Решение: Гипотенуза \(c = 17\) см. Радиус вписанной окружности: \[ r = \frac{a + b - c}{2} \] Отрезки гипотенузы: \(a - r = 5\), \(b - r = 12\). Решая систему, находим \(a = 8\), \(b = 15\). Площадь: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 15 = 60 \]
    Ответ: 60 (вариант 2).

  8. Упростить выражение и найти его значение при \( x = 1{,}01 \): \[ \left( \frac{\sqrt{x} + 1}{x\sqrt{x} + x + \sqrt{x}} \right) \Big/ \left( \frac{1}{x^2 - \sqrt{x}} \right) \]
    Решение: Упрощение приводит к выражению \(x - 1\). При \(x = 1{,}01\): \[ 1{,}01 - 1 = 0{,}01 \]
    Ответ: $0{,}01$ (вариант 3).

  9. Из пунктов A и B, расстояние между которыми 19 км, вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода и встретились в 9 км от A. Найдите скорость пешехода, шедшего из A, если он шёл на 1 км/ч быстрее другого и сделал получасовую остановку.
    Решение: Пусть скорость пешехода из A — \(v\), тогда из B — \(v - 1\). Время движения пешехода из A: \[ \frac{9}{v} + 0{,}5 = \frac{10}{v - 1} \] Решая уравнение, находим \(v = 6\) км/ч.
    Ответ: 6 (вариант 2).

  10. Один из отрицательных корней уравнения \[ 2x^2 - kx + 16 = 0 \] в 2 раза больше другого. Найдите корни и коэффициент \( k \). В ответе укажите сумму полученных значений.
    Решение: Пусть корни \(x_1 = 2x_2\). По теореме Виета: \[ x_1 \cdot x_2 = 8 \quad \Rightarrow \quad x_2 = -2, \quad x_1 = -4 \] \[ x_1 + x_2 = \frac{k}{2} \quad \Rightarrow \quad k = -12 \] Сумма: \(-4 + (-2) + (-12) = -18\).
    Ответ: \(-18\) (вариант 3).
Материалы школы Юайти