8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей НИУ ВШЭ из 9 в 10 класс 2019 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 2019
Сложность:
Дата экзамена: 2019
youit.school ©

ЛИЦЕЙ НИУ ВШЭ


2019 год




  1. На уроке литературы учитель решил узнать, кто из 40 учеников класса читал книги «Война и мир» и «Преступление и наказание». Результаты опроса оказались таковы: «Войну и мир» читали 25 учащихся, «Преступление и наказание» — 22 учащихся, обе книги читали 10 человек. Сколько человек не прочитали ни одной из этих книг?

  2. Решите уравнение: \[ |\ x^2 - 9\ | = 9 - x^2 \] Если корней несколько, в ответе укажите их сумму.

  3. В прямоугольном треугольнике \( ABC \) с прямым углом при вершине \( C \), высота \( CH = 3 \), \( BH = 1 \). Найдите площадь треугольника \( ABC \).

  4. Решите неравенство: \[ (2x - 4)^2 (2x - 7) \geq 0 \] В ответе укажите сумму двух наименьших целых решений неравенства.

  5. Найдите область определения функции: \[ y = \frac{1 + x^2}{\sqrt{1 - 12x - 13x^2 + 9}} \] В ответе укажите сумму целых отрицательных чисел, принадлежащих области определения функции.

  6. Вычислите: \[ \sqrt{28 - 6\sqrt{3}} - \sqrt{31 + 12\sqrt{3}} \]

  7. Решите иррациональное уравнение: \[ \sqrt{x + 8} + 1 = \sqrt{7x + 9} \] Если корней несколько, в ответе укажите наименьший.

  8. Решите неравенство с модулем: \[ |x^2 - 6x + 8| \leq x - 2 \] В ответе укажите количество целых решений.

  9. Решите уравнение: \[ x^3 - 8x^2 + 40 = 0 \] В ответе укажите сумму корней.

  10. Найдите все значения параметра \( a \), при которых уравнение \[ (a - 3)x^2 + (6 - 2a)x + 1 = 0 \] имеет единственное решение. Если корней несколько, в ответе укажите их сумму.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. На уроке литературы учитель решил узнать, кто из 40 учеников класса читал книги «Война и мир» и «Преступление и наказание». Результаты опроса оказались таковы: «Войну и мир» читали 25 учащихся, «Преступление и наказание» — 22 учащихся, обе книги читали 10 человек. Сколько человек не прочитали ни одной из этих книг?
    Решение: Используем формулу включений-исключений:
    Число учеников, прочитавших хотя бы одну книгу: $25 + 22 - 10 = 37$.
    Тогда не прочитали ни одной книги: $40 - 37 = 3$.
    Ответ: 3.
  2. Решите уравнение: \[ |\ x^2 - 9\ | = 9 - x^2 \] Если корней несколько, в ответе укажите их сумму.
    Решение: Уравнение выполняется, если $9 - x^2 \geq 0$, то есть $x^2 \leq 9$.
    Решения: $x \in [-3; 3]$. Сумма всех корней (концы интервала): $-3 + 3 = 0$.
    Ответ: 0.
  3. В прямоугольном треугольнике \( ABC \) с прямым углом при вершине \( C \), высота \( CH = 3 \), \( BH = 1 \). Найдите площадь треугольника \( ABC \).
    Решение: В прямоугольном треугольнике высота делит его на подобные треугольники. Используем свойство:
    $CH^2 = AH \cdot HB \Rightarrow 3^2 = AH \cdot 1 \Rightarrow AH = 9$.
    Тогда гипотенуза $AB = AH + HB = 9 + 1 = 10$.
    Площадь треугольника: $\frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 3 = 15$.
    Ответ: 15.
  4. Решите неравенство: \[ (2x - 4)^2 (2x - 7) \geq 0 \] В ответе укажите сумму двух наименьших целых решений неравенства.
    Решение: Квадрат всегда неотрицателен, поэтому неравенство выполняется при:
    $2x - 7 \geq 0$ или $(2x - 4)^2 = 0$.
    Решения: $x \geq 3,5$ или $x = 2$.
    Наименьшие целые решения: 2 и 4. Сумма: $2 + 4 = 6$.
    Ответ: 6.
  5. Найдите область определения функции: \[ y = \frac{1 + x^2}{\sqrt{1 - 12x - 13x^2 + 9}} \] В ответе укажите сумму целых отрицательных чисел, принадлежащих области определения функции.
    Решение: Условие для подкоренного выражения:
    $-13x^2 - 12x + 10 > 0 \Rightarrow x \in (-1,45; 0,53)$.
    Целые отрицательные числа в интервале: $-1$. Сумма: $-1$.
    Ответ: $-1$.
  6. Вычислите: \[ \sqrt{28 - 6\sqrt{3}} - \sqrt{31 + 12\sqrt{3}} \]
    Решение: Представим корни в виде:
    $\sqrt{28 - 6\sqrt{3}} = 3\sqrt{3} - 1$,
    $\sqrt{31 + 12\sqrt{3}} = 2 + 3\sqrt{3}$.
    Разность: $(3\sqrt{3} - 1) - (2 + 3\sqrt{3}) = -3$.
    Ответ: $-3$.
  7. Решите иррациональное уравнение: \[ \sqrt{x + 8} + 1 = \sqrt{7x + 9} \] Если корней несколько, в ответе укажите наименьший.
    Решение: Возведем в квадрат обе части:
    $x + 8 + 2\sqrt{x + 8} + 1 = 7x + 9 \Rightarrow 2\sqrt{x + 8} = 6x$.
    Повторное возведение в квадрат: $x + 8 = 9x^2 \Rightarrow 9x^2 - x - 8 = 0$.
    Корни: $x = 1$ и $x = -\frac{8}{9}$. Проверка показывает, что только $x = 1$ подходит.
    Ответ: 1.
  8. Решите неравенство с модулем: \[ |x^2 - 6x + 8| \leq x - 2 \] В ответе укажите количество целых решений.
    Решение: Рассмотрим случаи:
    1. $x \geq 2$: $|(x-2)(x-4)| \leq x - 2 \Rightarrow x \in [2; 5]$.
    Целые решения: 2, 3, 4, 5. Количество: 4.
    Ответ: 4.
  9. Решите уравнение: \[ x^3 - 8x^2 + 40 = 0 \] В ответе укажите сумму корней.
    Решение: По теореме Виета сумма корней уравнения равна коэффициенту при $x^2$ с противоположным знаком: $8$.
    Ответ: 8.
  10. Найдите все значения параметра \( a \), при которых уравнение \[ (a - 3)x^2 + (6 - 2a)x + 1 = 0 \] имеет единственное решение. Если корней несколько, в ответе укажите их сумму.
    Решение: Уравнение имеет единственное решение, если:
    1. Оно квадратное с нулевым дискриминантом: $a = 4$.
    2. Оно линейное: $a = 3$ не подходит.
    Ответ: 4.
Материалы школы Юайти