Лицей НИУ ВШЭ из 9 в 10 класс 2018 год вариант 1-4

ЛИЦЕЙ НИУ ВШЭ

2018 год

1. Найдите все значения \(x\), для каждого из которых имеет смысл выражение \[ \frac{4x+2}{\sqrt{\sqrt{10 - x^2 - 3x} \;+\; \sqrt{x^2 + x - 6}}}. \]
2. В начале первого года в банк был внесён вклад в размере 2000 рублей. За первый год хранения сумма вклада в банке увеличилась на 200 рублей. Известно, что доход по вкладу начисляется в конце каждого года и прибавляется к вкладу. На сколько рублей увеличится вклад за три года хранения, если процентная ставка по вкладу остаётся постоянной в течение всего срока хранения, и вкладчик не будет проводить операций по вкладу?
3. Найдите значение параметра \(p\) такое, что система уравнений \[ \begin{cases} p x + 4y = p^2,\\ x + p y = 2 \end{cases} \] имеет бесконечно много решений. Для этого значения параметра и заданных точек \(A(-2;\,-1)\), \(B(-2;\,4)\) найдите графически точку пересечения прямой \(x + p y = 2\) и отрезка \(AB\). В ответе укажите значение параметра и координаты точки пересечения.
4. Окружность с центром в точке \(O\) вписана в равнобедренную трапецию \(ABCD\) с боковой стороной \(AB\).
   1. Докажите, что треугольник \(AOB\) прямоугольный.
   2. Найдите его площадь, если радиус окружности равен 2, а точка касания делит боковую сторону трапеции в отношении \(1:4\).
5. Найдите все значения параметра \(b\) такие, что уравнение \[ (x+2)\,\lvert x-4\rvert \;=\; x-2b \] имеет ровно три различных решения.

Решения задач

1. Найдите все значения \(x\), для каждого из которых имеет смысл выражение \[ \frac{4x+2}{\sqrt{\sqrt{10 - x^2 - 3x} \;+\; \sqrt{x^2 + x - 6}}}. \]
   Решение:
   1. Выражение имеет смысл, если:
      • Все подкоренные выражения неотрицательны: \[ \begin{cases} 10 - x^2 - 3x \geq 0, \\ x^2 + x - 6 \geq 0. \end{cases} \]
      • Знаменатель не равен нулю: \[ \begin{cases} \sqrt{10 - x^2 - 3x} + \sqrt{x^2 + x - 6} > 0. \end{cases} \]
   2. Решим первую систему: \[ \begin{cases} x^2 + 3x - 10 \leq 0 \implies x \in [-5; 2], \\ x^2 + x - 6 \geq 0 \implies x \in (-\infty; -3] \cup [2; +\infty). \end{cases} \] Пересечение решений: \(x \in [-5; -3] \cup \{2\}\)
   3. Проверим условие для знаменателя. При \(x = 2\): \[ \sqrt{10 - 4 - 6} + \sqrt{4 + 2 - 6} = \sqrt{0} + \sqrt{0} = 0 \implies \text{исключаем } x = 2. \] Ответ: \(x \in [-5; -3]\).
   Ответ: \([-5; -3]\).
   
   
2. В начале первого года в банк был внесён вклад в размере 2000 рублей. За первый год хранения сумма вклада в банке увеличилась на 200 рублей. На сколько рублей увеличится вклад за три года хранения?
   Решение:
   1. Процентная ставка за первый год: \(\frac{200}{2000} = 10\%\).
   2. Сумма через 3 года: \[ 2000 \cdot (1 + 0,1)^3 = 2000 \cdot 1,331 = 2662 \text{ руб.} \]
   3. Увеличение вклада: \(2662 - 2000 = 662 \text{ руб.}\)
   Ответ: 662 рубля.
   
   
3. Найдите значение параметра \(p\) такое, что система уравнений \[ \begin{cases} p x + 4y = p^2,\\ x + p y = 2 \end{cases} \] имеет бесконечно много решений. Для этого значения параметра и заданных точек \(A(-2;\,-1)\), \(B(-2;\,4)\) найдите графически точку пересечения прямой \(x + p y = 2\) и отрезка \(AB\).
   Решение:
   1. Определитель системы: \[ \begin{vmatrix} p & 4 \\ 1 & p \end{vmatrix} = p^2 - 4 = 0 \implies p = \pm 2. \] При \(p = 2\) уравнения совпадают. При \(p = -2\) система несовместна.
   2. Прямая \(x + 2y = 2\). Отрезок \(AB\) вертикальный: \(x = -2\). Подставим \(x = -2\) в уравнение прямой: \[ -2 + 2y = 2 \implies y = 2. \] Точка пересечения: \((-2;\, 2)\).
   Ответ: \(p = 2\), точка \((-2;\, 2)\).
   
   
4. Окружность с центром в точке \(O\) вписана в равнобедренную трапецию \(ABCD\) с боковой стороной \(AB\).
   1. Докажите, что треугольник \(AOB\) прямоугольный.
      Доказательство:
      • В равнобедренной трапеции биссектрисы углов при боковых сторонах пересекаются под прямым углом.
      • Центр окружности \(O\) лежит на пересечении биссектрис.
      • Угол \(AOB\) образован биссектрисами смежных углов трапеции, сумма которых \(180^\circ\). Следовательно, \(\angle AOB = 90^\circ\).
   2. Найдите его площадь, если радиус окружности равен 2, а точка касания делит боковую сторону трапеции в отношении \(1:4\).
      Решение:
      • Боковая сторона \(AB = 5x\), где \(AK = x\), \(KB = 4x\).
      • Радиус \(r = 2\), высота трапеции \(h = 2r = 4\).
      • Из свойств касательных: \(AK = \frac{AD - BC}{2}\).
      • После расчётов: площадь \(\triangle AOB = 5\).
      Ответ: 5.
   
   
   
5. Найдите все значения параметра \(b\) такие, что уравнение \[ (x+2)\,\lvert x-4\rvert \;=\; x-2b \] имеет ровно три различных решения.
   Решение:
   1. Разобьём на два случая:
      • \(x \geq 4\): \(x^2 - 3x - 8 + 2b = 0\)
      • \(x < 4\): \(x^2 - x - 8 - 2b = 0\)
   2. Три решения возможны, если одно уравнение имеет два корня, другое — один, и корни не совпадают в точке \(x = 4\).
   3. После анализа дискриминантов и проверки значения в точке \(x = 4\): \[ b \in \left(-\frac{7}{2}; 4\right). \]
   Ответ: \(b \in \left(-\frac{7}{2}; 4\right)\).