Лицей НИУ ВШЭ из 9 в 10 класс 2018 год вариант 1-3

ЛИЦЕЙ НИУ ВШЭ

2018 год

1. Вычислите: \[ \left( \frac{1.875 : 0.125}{(2.0)^4} - 5 \right) \]
   1. 3125
   2. -310.5
   3. 25
   4. 0.008
   
   
   
2. Стоимость мобильного телефона повысилась с 16000 руб. до 17920 руб. На сколько процентов дороже стал стоить телефон?
   1. $10\%$
   2. $11.8% $
   3. $12\%$
   4. $13\%$
   
   
   
3. Найдите наименьшее целое решение неравенства: \[ (x - 1)(x + 2) > (x - 5)^2 \]
   1. 0
   2. 2
   3. 3
   4. 4
   
   
   
4. При подготовке к ОГЭ по математике Борис в течение трёх дней решил 189 задач, увеличивая каждый день количество решённых задач на одно и то же число. В третий день он решил в 2 раза больше задач, чем в первый. Сколько задач решил Борис в третий день?
   1. 50
   2. 58
   3. 63
   4. 84
   
   
   
5. Найдите область определения функции: \[ y = \frac{1}{x^3 - 2x^2 + 3x - 1} \] В ответе укажите количество целых чисел, не принадлежащих области определения функции.
   1. 1
   2. 2
   3. 0
   4. 3
   
   
   
6. Периметр прямоугольного треугольника равен 24 см. Гипотенуза больше одного из катетов на 2 см. Найдите длину гипотенузы.
   1. 10
   2. 14
   3. 9
   4. 12
   
   
   
7. Третий член геометрической прогрессии равен $-2$, а седьмой — $-32$. Найдите пятый член прогрессии.
   1. $-8$
   2. $\pm 8$
   3. 8
   4. $\pm 4$
   
   
   
8. Четыре бригады должны прополоть поле. Первая, вторая и третья могут вместе выполнить эту работу за 8 часов; вторая, третья и четвёртая — за 6 часов 40 минут. Если будут работать все четыре бригады, то затратят на это 5 часов. За какое время могут прополоть поле первая и четвёртая бригады?
   1. 7
   2. 8
   3. 8.5
   4. 9
   
   
   
9. Найдите абсциссу точки пересечения графиков функций: \[ f(x) = \frac{2x + 8}{x^2 + 2x - 3}, \quad g(x) = \frac{2x^2 - 1}{x^2 + 2x - 3} \] Если точек пересечения несколько, в ответе укажите их сумму.
   1. $-2$
   2. $-1$
   3. 1
   4. 3
   
   
   
10. Найдите сумму всех различных значений параметра $p$, при которых уравнение \[ (p + 3)(x^2 + x) + 2 = 0 \] имеет единственный корень.
    1. 1
    2. 2
    3. 3
    4. 4

Решения задач

1. Вычислите: \[ \left( \frac{1.875 : 0.125}{(2.0)^4} - 5 \right) \] Решение: \[ \frac{1.875 : 0.125}{2^4} - 5 = \frac{15}{16} - 5 = 0.9375 - 5 = -4.0625 \] Ответ отсутствует в предложенных вариантах. Возможная ошибка в условии. Из предложенных ближайший вариант: 4) 0.008 (предположительно).
   
   
2. Стоимость мобильного телефна повысилась с 16000 руб. до 17920 руб. Найти процент увеличения: \[ \frac{17920 - 16000}{16000} \cdot 100% = \frac{1920}{16000} \cdot 100% = 12\% \] Ответ: 3) 12\%.
   
   
3. Найдите наименьшее целое решение неравенства: \[ (x - 1)(x + 2) > (x - 5)^2 \] Решение: \[ x^2 + x - 2 > x^2 - 10x + 25 \quad \Rightarrow \quad 11x > 27 \quad \Rightarrow \quad x > \frac{27}{11} \approx 2.45 \] Наименьшее целое решение: 3) 3.
   
   
4. Борис решил 189 задач за три дня с постоянным увеличением. Пусть в первый день решено \(a\) задач, тогда третий день: \(2a\). Сумма прогрессии: \[ a + (a + d) + (a + 2d) = 3a + 3d = 189 \quad \text{и} \quad a + 2d = 2a \quad \Rightarrow \quad d = \frac{a}{2} \] \[ 3a + \frac{3a}{2} = 4.5a = 189 \quad \Rightarrow \quad a = 42 \quad \Rightarrow \quad 2a = 84 \] Ответ: 4) 84.
   
   
5. Область определения функции \(y = \frac{1}{x^3 - 2x^2 + 3x - 1}\). Знаменатель не имеет целых корней (проверка подстановкой). Количество целых чисел, не входящих в ОДЗ: 3) 0.
   
   
6. Периметр прямоугольного треугольника 24 см. Пусть гипотенуза \(c = a + 2\), катеты \(a\) и \(b\): \[ a + b + c = 24, \quad a^2 + b^2 = c^2 \] Решение: \[ c = 10 \quad \text{(проверка подстановкой)} \] Ответ: 1) 10.
   
   
7. Геометрическая прогрессия: \(b_3 = -2\), \(b_7 = -32\). Найти \(b_5\): \[ q^4 = \frac{b_7}{b_3} = 16 \quad \Rightarrow \quad q^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad b_5 = b_3 \cdot q^2 = -8 \] Ответ: 1) \(-8\).
   
   
8. Четыре бригады. Совместная работа первой и четвертой: \[ v_1 + v_4 = \frac{1}{8} \quad \Rightarrow \quad \text{Время: 8 часов} \] Ответ: 2) 8.
   
   
9. Точки пересечения графиков \(f(x)\) и \(g(x)\): \[ 2x + 8 = 2x^2 - 1 \quad \Rightarrow \quad 2x^2 - 2x - 9 = 0 \quad \Rightarrow \quad \text{Сумма корней: } 1 \] Ответ: 3) 1.
   
   
10. Уравнение \((p + 3)(x^2 + x) + 2 = 0\) имеет единственный корень при \(p = 5\). Сумма значений: 4) 4 (предположительно, возможна ошибка в условии).