8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей НИУ ВШЭ из 9 в 10 класс 2018 год вариант 1-2

Сложность:
Дата экзамена: 2018
СкачатьПечать
youit.school ©

ЛИЦЕЙ НИУ ВШЭ


2018 год




  1. В абрикосах содержится $91\%$ влаги, а в кураге — $7\%$ влаги. Сколько граммов кураги получится из $21{,}7$ кг абрикосов?
    1. $2{,}1$
    2. 210
    3. 1800
    4. 2100


  2. В жилых домах, в которых больше пяти этажей, установлен лифт. Выберите утверждения, которые верны при приведённом условии.
    1. Если в доме нет лифта, то в этом доме больше 6 этажей.
    2. Если в доме лифта нет, то в этом доме меньше 6 этажей.
    3. Если в доме больше 7 этажей, то в нём нет лифта.
    4. Если в доме больше 8 этажей, то в нём есть лифт.
      1. 1, 2
      2. 4
      3. 2, 4
      4. 2, 3, 4


  3. Цифры \(x\) и \(y\) таковы, что четырёхзначное число \(7y1x\) делится на 36. Найдите произведение \(xy\). Если решений несколько, то в ответ запишите наименьшее из них.
    1. 16
    2. 24
    3. 0
    4. 4


  4. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) с прямым углом при вершине \(C\) высота \(CH = 3\), \(BH = 1\). Найдите площадь треугольника \(ABC\).
    1. \(5\sqrt{10}\)
    2. 15
    3. \(10\sqrt{10}\)
    4. \(1{,}5\sqrt{10}\)


  5. Найдите сумму всех целых \(m\) таких, что число \(\dfrac{2}{m - 2}\) также является целым.
    1. 0
    2. 8
    3. 4
    4. 7


  6. К четырёхугольной пирамиде приклеили параллелепипед так, что их основания совпали. Сколько граней у получившегося многогранника?
    1. 11
    2. 10
    3. 9
    4. 8


  7. Решите уравнение: \[ |x - 1| + |x + 2| = 3 \]
    1. \([-1; 3]\)
    2. \([-2; 3]\)
    3. \([-1; 2]\)
    4. \([-2; 1]\)


  8. Укажите наибольшее решение неравенства: \[ 2\sqrt{16 - x^2} < x + 8 \]
    1. 4
    2. $-4$
    3. $-3{,}2$
    4. не существует


  9. Найдите область определения функции: \[ y = \frac{\sqrt{(4 - x)(x^2 + 1)}}{(x - 3)^2} \]
    1. \([4; +\infty)\)
    2. \((-\infty; 3) \cup [4; +\infty)\)
    3. \((3; 4]\)
    4. \((-\infty; 3) \cup (3; 4]\)


  10. Найдите произведение всех действительных корней уравнения: \[ 2x^3 - 2x^2 - x + 3 = 0 \]
    1. $-1{,}5$
    2. 3
    3. 2
    4. $-1$
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. В абрикосах содержится $91\%$ влаги, а в кураге — $7\%$ влаги. Сколько граммов кураги получится из $21{,}7$ кг абрикосов?
    Решение: Сухое вещество в абрикосах составляет $100\ 91% = 9\%$. Масса сухого вещества:
    $21{,}7 \text{ кг} \cdot 0{,}09 = 1{,}953 \text{ кг} = 1953 \text{ г}$.
    В кураге сухое вещество составляет $93\%$, поэтому масса кураги:
    $\frac{1953}{0{,}93} = 2100 \text{ г}$.
    Ответ: 4) 2100.

  2. В жилых домах, в которых больше пяти этажей, установлен лифт. Выберите утверждения, которые верны при приведённом условии.
    Решение:
    • Неверно: отсутствие лифта $\Rightarrow$ этажей $\leq 5$.
    • Верно: отсутствие лифта $\Rightarrow$ этажей $\leq 5$.
    • Неверно: этажи $>5$ $\Rightarrow$ есть лифт.
    • Верно: этажи $>5$ $\Rightarrow$ есть лифт.

    Ответ: 3) 2, 4.

  3. Цифры \(x\) и \(y\) таковы, что четырёхзначное число \(7y1x\) делится на 36. Найдите произведение \(xy\). Если решений несколько, то в ответ запишите наименьшее из них.
    Решение: Число делится на 36 $\Leftrightarrow$ делится на 4 и 9.
    • Для деления на 4: $1x$ делится на 4 $\Rightarrow x \in \{0, 2, 4, 6, 8\}$.
    • Для деления на 9: $7 + y + 1 + x \equiv 0 \pmod{9}$.
    Минимальное произведение при $x=0$, $y=1$: $0 \cdot 1 = 0$.
    Ответ: 3) 0.

  4. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) с прямым углом при вершине \(C\) высота \(CH = 3\), \(BH = 1\). Найдите площадь треугольника \(ABC\).
    Решение: По свойству высоты в прямоугольном треугольнике:
    $CH^2 = AH \cdot HB \Rightarrow 3^2 = AH \cdot 1 \Rightarrow AH = 9$.
    Гипотенуза $AB = AH + HB = 9 + 1 = 10$.
    Площадь: $\frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 3 = 15$.
    Ответ: 2) 15.

  5. Найдите сумму всех целых \(m\) таких, что число \(\dfrac{2}{m - 2}\) также является целым.
    Решение: $m - 2$ — делитель 2: $\pm1, \pm2$.
    $m = 3, 1, 4, 0$. Сумма: $3 + 1 + 4 + 0 = 8$.
    Ответ: 2) 8.

  6. К четырёхугольной пирамиде приклеили параллелепипед так, что их основания совпали. Сколько граней у получившегося многогранника?
    Решение: У пирамиды 5 граней, у параллелепипеда 6. Совпадают 2 грани (основания). Итого: $5 + 6 - 2 = 9$.
    Ответ: 3) 9.

  7. Решите уравнение: \[ |x - 1| + |x + 2| = 3 \] Решение: Рассмотрим три случая:
    • $x < -2$: $-x + 1 - x - 2 = 3 \Rightarrow x = -2$ (не входит в интервал).
    • $-2 \leq x < 1$: $-x + 1 + x + 2 = 3 \Rightarrow 3 = 3$ (все $x$ из интервала).
    • $x \geq 1$: $x - 1 + x + 2 = 3 \Rightarrow x = 1$.
    Ответ: $x \in [-2; 1]$.
    Ответ: 4) \([-2; 1]\).

  8. Укажите наибольшее решение неравенства: \[ 2\sqrt{16 - x^2} < x + 8 \] Решение: ОДЗ: $16 - x^2 \geq 0 \Rightarrow x \in [-4; 4]$.
    Возведем в квадрат:
    $4(16 - x^2) 0 \Rightarrow x \in (-\infty; -\frac{16}{5}) \cup (0; +\infty)$.
    Пересечение с ОДЗ: $x \in (-4; -\frac{16}{5}) \cup (0; 4]$. Наибольшее решение: $x = 4$.
    Ответ: 1) 4.

  9. Найдите область определения функции: \[ y = \frac{\sqrt{(4 - x)(x^2 + 1)}}{(x - 3)^2} \] Решение:
    • Знаменатель: $(x - 3)^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$.
    • Подкоренное выражение: $(4 - x)(x^2 + 1) \geq 0$.
    • Так как $x^2 + 1 > 0$, то $4 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 4$.
    Область определения: $x \in (-\infty; 3) \cup (3; 4]$.
    Ответ: 4) \((-\infty; 3) \cup (3; 4]\).

  10. Найдите произведение всех действительных корней уравнения: \[ 2x^3 - 2x^2 - x + 3 = 0 \] Решение: Подстановкой находим корень $x = -1$. Разложим на множители:
    $(x + 1)(2x^2 - 4x + 3) = 0$. Квадратный трёхчлен действительных корней не имеет.
    Произведение действительных корней: $-1$.
    Ответ: 4) $-1$.
Материалы школы Юайти