8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей НИУ ВШЭ из 9 в 10 класс 2018 год вариант 1-1

Сложность:
Дата экзамена: 2018
СкачатьПечать
youit.school ©

ЛИЦЕЙ НИУ ВШЭ


2018 год




  1. На уроке литературы учитель решил узнать, кто из 40 учеников класса читал книги «Война и мир» и «Преступление и наказание». Результаты опроса оказались таковы: «Войну и мир» читали 25 учащихся, «Преступление и наказание» — 22 учащихся, обе книги читали 10 человек. Сколько человек не прочитали ни одной из этих книг?

    1. 1
    2. 2
    3. 3
    4. 0


  2. Решите уравнение: \[ |x^2 - 9| = 9 - x^2 \] Если корней несколько, в ответе укажите их сумму.

    1. 3
    2. 5
    3. -3
    4. 0


  3. В прямоугольном треугольнике \( ABC \) с прямым углом при вершине \( C \), высота \( CH = 3 \), \( BH = 1 \). Найдите площадь треугольника \( ABC \).

    1. \(5\sqrt{10}\)
    2. 15
    3. \(10\sqrt{10}\)
    4. \(1{,}5\sqrt{10}\)


  4. Решите неравенство: \[ (2x - 4)^2 (2x - 7) \geq 0 \] В ответе укажите сумму двух наименьших целых решений.

    1. 6
    2. 7
    3. 9
    4. 5


  5. Найдите область определения функции: \[ y = \frac{1 + x^2}{\sqrt{9 - 13x - 12x^2}} \] В ответе укажите сумму целых отрицательных чисел, принадлежащих области определения функции.

    1. $-21$
    2. $-19$
    3. $-18$
    4. $-17$


  6. Вычислите: \[ \sqrt{28 - 6\sqrt{3}} - \sqrt{31 + 12\sqrt{3}} \]

    1. \(6\sqrt{3} + 1\)
    2. \(-6\sqrt{3}\)
    3. $-3$
    4. $-1$


  7. Решите уравнение: \[ \sqrt{x + 8} + 1 = \sqrt{7x + 9} \] Если корней несколько, в ответе укажите наименьший.

    1. 1
    2. $-\dfrac{8}{9}$
    3. -1
    4. $2{,}3$


  8. Решите неравенство: \[ |x^2 - 6x + 8| \leq x - 2 \] В ответе укажите количество целых решений.

    1. 2
    2. 3
    3. 4
    4. 5


  9. Решите уравнение: \[ x^3 - 8x^2 + 40 = 0 \] В ответе укажите сумму корней.

    1. 8
    2. -2
    3. 10
    4. 40


  10. Найдите все значения параметра \( a \), при которых уравнение \[ (a - 3)x^2 + (6 - 2a)x + 1 = 0 \] имеет единственное решение. Если корней несколько, в ответе укажите их сумму.

    1. 3
    2. 4
    3. 7
    4. 0
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. На уроке литературы учитель решил узнать, кто из 40 учеников класса читал книги «Война и мир» и «Преступление и наказание». Результаты опроса оказались таковы: «Войну и мир» читали 25 учащихся, «Преступление и наказание» — 22 учащихся, обе книги читали 10 человек. Сколько человек не прочитали ни одной из этих книг?
    Решение: По формуле включений-исключений:
    Количество прочитавших хотя бы одну книгу: $25 + 22 - 10 = 37$.
    Не прочитавших ни одной: $40 - 37 = 3$.
    Ответ: $\boxed{3}$.
  2. Решите уравнение: \[ |x^2 - 9| = 9 - x^2 \] Если корней несколько, в ответе укажите их сумму.
    Решение: Уравнение выполняется при $9 - x^2 \geq 0 \Rightarrow x \in [-3; 3]$. Все числа из этого промежутка являются решениями. Сумма всех целых решений: $-3 + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 = 0$.
    Ответ: $\boxed{0}$.
  3. В прямоугольном треугольнике \( ABC \) с прямым углом при вершине \( C \), высота \( CH = 3 \), \( BH = 1 \). Найдите площадь треугольника \( ABC \).
    Решение: По свойству высоты в прямоугольном треугольнике:
    $CH^2 = AH \cdot HB \Rightarrow 3^2 = AH \cdot 1 \Rightarrow AH = 9$.
    Гипотенуза $AB = AH + HB = 9 + 1 = 10$.
    Площадь: $\frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 3 = 15$.
    Ответ: $\boxed{15}$.
  4. Решите неравенство: \[ (2x - 4)^2 (2x - 7) \geq 0 \] В ответе укажите сумму двух наименьших целых решений.
    Решение: Неравенство выполняется при $x = 2$ (квадрат обращается в ноль) и $x \geq 3{,}5$. Наименьшие целые решения: $2$ и $4$. Сумма: $2 + 4 = 6$.
    Ответ: $\boxed{6}$.
  5. Найдите область определения функции: \[ y = \frac{1 + x^2}{\sqrt{9 - 13x - 12x^2}} \] В ответе укажите сумму целых отрицательных чисел, принадлежащих области определения функции.
    Решение: Решаем неравенство $9 - 13x - 12x^2 > 0$. Корни уравнения $-12x^2 - 13x + 9 = 0$: $x_1 \approx -1{,}56$, $x_2 \approx 0{,}48$. Область определения: $x \in (-1{,}56; 0{,}48)$. Целые отрицательные числа: $-1$. Сумма: $-1$.
    Ответ: $\boxed{-1}$ (в вариантах ответа отсутствует, возможна ошибка в условии).
  6. Вычислите: \[ \sqrt{28 - 6\sqrt{3}} - \sqrt{31 + 12\sqrt{3}} \]
    Решение: Представим подкоренные выражения в виде квадратов:
    $\sqrt{28 - 6\sqrt{3}} = 3\sqrt{3} - 1$, $\sqrt{31 + 12\sqrt{3}} = 2 + 3\sqrt{3}$.
    Разность: $(3\sqrt{3} - 1) - (2 + 3\sqrt{3}) = -3$.
    Ответ: $\boxed{-3}$.
  7. Решите уравнение: \[ \sqrt{x + 8} + 1 = \sqrt{7x + 9} \] Если корней несколько, в ответе укажите наименьший.
    Решение: Возведем в квадрат:
    $x + 8 + 2\sqrt{x + 8} + 1 = 7x + 9 \Rightarrow 2\sqrt{x + 8} = 6x \Rightarrow \sqrt{x + 8} = 3x$.
    Проверка показывает, что единственный корень $x = 1$.
    Ответ: $\boxed{1}$.
  8. Решите неравенство: \[ |x^2 - 6x + 8| \leq x - 2 \] В ответе укажите количество целых решений.
    Решение: Решения неравенства: $x = 2$ и $x \in [3; 5]$. Целые решения: $2, 3, 4, 5$. Количество: 4.
    Ответ: $\boxed{4}$.
  9. Решите уравнение: \[ x^3 - 8x^2 + 40 = 0 \] В ответе укажите сумму корней.
    Решение: По теореме Виета сумма корней кубического уравнения равна $8$.
    Ответ: $\boxed{8}$.
  10. Найдите все значения параметра \( a \), при которых уравнение \[ (a - 3)x^2 + (6 - 2a)x + 1 = 0 \] имеет единственное решение. Если корней несколько, в ответе укажите их сумму.
    Решение: Уравнение имеет единственное решение при $a = 4$ (дискриминант равен нулю) и $a = 3$ (линейное уравнение, но не имеет решений). Подходит только $a = 4$.
    Ответ: $\boxed{4}$.
Материалы школы Юайти