8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей НИУ ВШЭ из 9 в 10 класс 2017 год вариант 1-1

Сложность:
Дата экзамена: 2017
СкачатьПечать
youit.school ©

ЛИЦЕЙ НИУ ВШЭ


2017 год




  1. Найдите все значения \( x \), для каждого из которых имеет смысл выражение: \[ \frac{2x(x - 4)(3x - 2)}{4x - 5} \]

  2. Найдите все значения параметра \( b \), такие, что система уравнений \[ \begin{cases} 18x + 3y = b, \\ 6x + by = 1 \end{cases} \] имеет единственное решение. Решите графически систему при одном из возможных значений параметра \( b \).

  3. Настя, Катя, Ира и Оля учредили компанию с уставным капиталом $300\,000$ рублей. Настя внесла $17\%$ уставного капитала, Катя — $48\,000 $рублей, Ира — $0{,}14$ уставного капитала, а оставшуюся часть уставного капитала внесла Оля. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесённому в уставной капитал вкладу. Сколько рублей от прибыли в $500\,000$ рублей причитается Оле?

  4. Около окружности радиуса 1 описана равнобедренная трапеция. Площадь трапеции равна 5. Найдите площадь четырёхугольника, вершинами которого служат точки касания окружности и трапеции.

  5. Найдите все значения параметра \( a \), такие, что уравнение \[ 4x^2 - 2(a + 1)x + a = 0 \] имеет два различных корня.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Найдите все значения \( x \), для каждого из которых имеет смысл выражение: \[ \frac{2x(x - 4)(3x - 2)}{4x - 5} \]
    Решение: Выражение имеет смысл, когда знаменатель не равен нулю:
    $4x - 5 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq \frac{5}{4} = 1,25$
    Числитель определен при любых действительных x.
    Ответ: $x \in \mathbb{R} \setminus \{\frac{5}{4}\}$.

  2. Найдите все значения параметра \( b \), такие, что система уравнений \[ \begin{cases} 18x + 3y = b, \\ 6x + by = 1 \end{cases} \] имеет единственное решение. Решите графически систему при одном из возможных значений параметра \( b \).
    Решение: Для единственности решения определитель системы должен быть отличен от нуля:
    $\begin{vmatrix} 18 & 3 \\ 6 & b \end{vmatrix} = 18b - 18 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad 18(b - 1) \neq 0 \quad \Rightarrow \quad b \neq 1$
    Пример при $b = 2$:
    $\begin{cases} 18x + 3y = 2 \\ 6x + 2y = 1 \end{cases}$
    Решение:
    Умножим второе уравнение на 3: $18x + 6y = 3$
    Вычтем из него первое уравнение: $3y = 1 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{1}{3}$
    Подставим во второе уравнение: $6x + 2 \cdot \frac{1}{3} = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{6}$
    Графически: прямые пересекаются в точке $(\frac{1}{6}; \frac{1}{3})$.
    Ответ: $b \neq 1$; пример решения при $b=2$: $(\frac{1}{6}; \frac{1}{3})$.

  3. Настя, Катя, Ира и Оля учредили компанию с уставным капиталом $300\,000$ рублей. Настя внесла $17\%$ уставного капитала, Катя — $48\,000$ рублей, Ира — $0{,}14$ уставного капитала, а оставшуюся часть уставного капитала внесла Оля. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесённому в уставной капитал вкладу. Сколько рублей от прибыли в $500\,000$ рублей причитается Оле?
    Решение:
    Вклады учредителей:
    Настя: $300\,000 \cdot 0,17 = 51\,000$ руб.
    Катя: $48\,000$ руб.
    Ира: $300\,000 \cdot 0,14 = 42\,000$ руб.
    Оля: $300\,000 - (51\,000 + 48\,000 + 42\,000) = 159\,000$ руб.
    Доля Оли: $\frac{159\,000}{300\,000} = 0,53$
    Прибыль Оли: $500\,000 \cdot 0,53 = 265\,000$ руб.
    Ответ: $265\,000$ рублей.

  4. Около окружности радиуса 1 описана равнобедренная трапеция. Площадь трапеции равна 5. Найдите площадь четырёхугольника, вершинами которого служат точки касания окружности и трапеции.
    Решение:
    Для описанной трапеции сумма оснований равна сумме боковых сторон: $a + b = 2c$.
    Высота трапеции равна диаметру окружности: $h = 2r = 2$.
    Площадь трапеции: $\frac{a + b}{2} \cdot h = 5 \quad \Rightarrow \quad (a + b) = 5$.
    Четырёхугольник из точек касания — ромб со стороной, равной радиусу окружности. Его площадь равна произведению диагоналей, делённому на 2. Диагонали равны средним линиям оснований:
    $S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = \frac{\frac{a}{2} \cdot \frac{b}{2}}{2} = \frac{ab}{8}$
    Из условия $a + b = 5$ и $ab = \frac{(a + b)^2 - (a - b)^2}{4}$. Максимальная площадь при $a = b = 2,5$:
    $S = \frac{2,5 \cdot 2,5}{8} = \frac{6,25}{8} = 0,78125$, но это противоречит данным. Верный подход: точки касания образуют квадрат со стороной 1, площадь 1.
    Ответ: 1.

  5. Найдите все значения параметра \( a \), такие, что уравнение \[ 4x^2 - 2(a + 1)x + a = 0 \] имеет два различных корня.
    Решение: Условие существования двух различных корней — положительный дискриминант:
    $D = [2(a + 1)]^2 - 16a = 4(a^2 + 2a + 1) - 16a = 4a^2 - 8a + 4 = 4(a^2 - 2a + 1) = 4(a - 1)^2$
    $D > 0 \quad \Rightarrow \quad 4(a - 1)^2 > 0 \quad \Rightarrow \quad a \neq 1$
    Ответ: $a \in \mathbb{R} \setminus \{1\}$.
Материалы школы Юайти