8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей НИУ ВШЭ из 9 в 10 класс 2016 год вариант 13

Сложность:
Дата экзамена: 2016
СкачатьПечать
youit.school ©

ЛИЦЕЙ НИУ ВШЭ


2016 год


Вариант 13



  1. Решите неравенство: \[ \frac{2x^2 + 2x + 1}{3x^2 + 5x - 2} \leq 0 \]
  2. Найдите значение выражения: \[ \frac{\sqrt{6}}{3\sqrt{3} + 2\sqrt{2}} + \frac{5}{\sqrt{2}} \]
  3. Решите уравнение: \[ x^2 + 2x + 1 = 0 \]
  4. Найдите площадь трапеции с основаниями 10 и 18 и высотой 6.
  5. Найдите периметр равнобедренного треугольника со стороной основания 6 и боковой стороной 10.
  6. Известно, что сумма двух чисел равна 30, а их разность равна 10. Найдите большее из этих чисел.
  7. Найдите наименьшее значение выражения: \[ x^2 - 2x + 3 \]
  8. Вычислите: \[ \sqrt{49} + \sqrt{16} \]
  9. Сколько граней у тетраэдра?
  10. Какой угол между часовой и минутной стрелками в 3:00?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Решите неравенство: \[ \frac{2x^2 + 2x + 1}{3x^2 + 5x - 2} \leq 0 \] Решение: Рассмотрим числитель и знаменатель отдельно.
    1. Числитель: $2x^2 + 2x + 1$. Дискриминант $D = 4 - 8 = -4 < 0$, значит выражение всегда положительно.
    2. Знаменатель: $3x^2 + 5x - 2 = 0$. Корни:
    $D = 25 + 24 = 49$, $x = \frac{-5 \pm 7}{6}$ → $x_1 = \frac{1}{3}$, $x_2 = -2$.
    Метод интервалов для знаменателя: выражение отрицательно на $(-2; \frac{1}{3})$.
    Учитывая положительность числителя, решение неравенства: $x \in (-2; \frac{1}{3})$.
    Ответ: $x \in (-2; \frac{1}{3})$.

  2. Найдите значение выражения: \[ \frac{\sqrt{6}}{3\sqrt{3} + 2\sqrt{2}} + \frac{5}{\sqrt{2}} \] Решение: Умножим числитель и знаменатель первого слагаемого на сопряженное выражение:
    $\frac{\sqrt{6}(3\sqrt{3} - 2\sqrt{2})}{(3\sqrt{3})^2 - (2\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{6}(3\sqrt{3} - 2\sqrt{2})}{27 - 8} = \frac{\sqrt{6}(3\sqrt{3} - 2\sqrt{2})}{19}$
    Второе слагаемое: $\frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$.
    Приведем к общему знаменателю и сложим:
    $\frac{\sqrt{6}(3\sqrt{3} - 2\sqrt{2})}{19} + \frac{5\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{18} - 2\sqrt{12} + 47,5\sqrt{2}}{38} = \frac{9\sqrt{2} - 4\sqrt{3} + 47,5\sqrt{2}}{38} = \frac{56,5\sqrt{2} - 4\sqrt{3}}{38}$
    Ответ: $\frac{56,5\sqrt{2} - 4\sqrt{3}}{38}$.

  3. Решите уравнение: \[ x^2 + 2x + 1 = 0 \] Решение: Уравнение можно представить в виде:
    $(x + 1)^2 = 0$ → $x = -1$ (кратность 2).
    Ответ: $x = -1$.

  4. Найдите площадь трапеции с основаниями 10 и 18 и высотой 6.
    Решение: Площадь трапеции вычисляется по формуле:
    $S = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{10 + 18}{2} \cdot 6 = 14 \cdot 6 = 84$.
    Ответ: 84.

  5. Найдите периметр равнобедренного треугольника со стороной основания 6 и боковой стороной 10.
    Решение: Периметр равен сумме всех сторон:
    $P = 6 + 10 + 10 = 26$.
    Ответ: 26.

  6. Известно, что сумма двух чисел равна 30, а их разность равна 10. Найдите большее из этих чисел.
    Решение: Составим систему уравнений:
    $\begin{cases} x + y = 30 \\ x - y = 10 \end{cases}$
    Сложим уравнения: $2x = 40$ → $x = 20$.
    Ответ: 20.

  7. Найдите наименьшее значение выражения: \[ x^2 - 2x + 3 \] Решение: Выделим полный квадрат:
    $x^2 - 2x + 3 = (x - 1)^2 + 2$.
    Минимальное значение достигается при $x = 1$ и равно 2.
    Ответ: 2.

  8. Вычислите: \[ \sqrt{49} + \sqrt{16} \] Решение: $\sqrt{49} = 7$, $\sqrt{16} = 4$ → $7 + 4 = 11$.
    Ответ: 11.

  9. Сколько граней у тетраэдра?
    Решение: Тетраэдр имеет 4 треугольные грани.
    Ответ: 4.

  10. Какой угол между часовой и минутной стрелками в 3:00?
    Решение: Каждый час соответствует 30° (360°/12). В 3:00 стрелки образуют угол:
    $3 \cdot 30° = 90°$.
    Ответ: 90°.
Материалы школы Юайти