Лицей НИУ ВШЭ из 9 в 10 класс 2016 год вариант 10
СкачатьПечать
youit.school ©
ЛИЦЕЙ НИУ ВШЭ
2016 год
Вариант 10
- Найдите значение выражения: \[ \left( \frac{u}{\sqrt{v}} - \frac{v}{\sqrt{u}} + 2 \right) : \left( \frac{4}{\sqrt{v}} \right), \quad \text{при } u = 5\sqrt{3},\ v = 6\sqrt{3} \]
- Вычислите: \[ \frac{\sqrt{30}}{2\sqrt{3} + \sqrt{5} - 3\sqrt{2}} - \frac{3}{\sqrt{2}} \]
- На сколько процентов надо уменьшить \(y\), чтобы при одновременном уменьшении \(x\) на $52\%$ величина \(\frac{x}{y}\) выросла на $140\%$?
- Найдите наибольшее значение функции: \[ y = \frac{6x^2 + 5x - 4}{4} \]
- Найдите сумму квадратов корней уравнения: \[ x^2 + 82x + 81 = 0 \]
- Решите неравенство: \[ \frac{3x - 10}{3x^2 - 4x - 4} > 0 \]
- Найдите площадь равнобедренного треугольника \(ABC\), если высота, опущенная на основание, равна 10, а высота, опущенная на боковую сторону, равна 12.
- В арифметической прогрессии известно, что \(a_5 + a_{11} = 15\). Найдите сумму \(a_3 + a_7 + a_9 + a_{13}\).
- Из пункта \(A\) в пункт \(B\) выехал велосипедист, который приедет через 2 часа. Одновременно с ним из \(B\) в \(A\) вышел пешеход, который придёт через 6 часов. Через какое время они встретятся?
- Взяли 5 листов бумаги. Один из них разрезали на 5 частей, один из полученных снова на 5, и так далее. Какое число листов можно получить?
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Найдите значение выражения:
\[
\left( \frac{u}{\sqrt{v}} - \frac{v}{\sqrt{u}} + 2 \right) : \left( \frac{4}{\sqrt{v}} \right), \quad \text{при } u = 5\sqrt{3},\ v = 6\sqrt{3}
\]
Решение:
Подставим значения \(u\) и \(v\):
\[
\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{6\sqrt{3}}} - \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{5\sqrt{3}}} + 2 = \frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt[4]{3}} - \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt[4]{3}} + 2
\]
Упростим знаменатели:
\[
\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt[4]{3}} = \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2}, \quad \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt[4]{3}} = \frac{6}{\sqrt{5}} = \frac{6\sqrt{5}}{5}
\]
Подставим обратно:
\[
\frac{5\sqrt{2}}{2} - \frac{6\sqrt{5}}{5} + 2
\]
Умножим на \(\frac{\sqrt{v}}{4} = \frac{\sqrt{6\sqrt{3}}}{4}\):
\[
\left( \frac{5\sqrt{2}}{2} - \frac{6\sqrt{5}}{5} + 2 \right) \cdot \frac{\sqrt{6\sqrt{3}}}{4} = \frac{5\sqrt{2} \cdot \sqrt{6\sqrt{3}} - 6\sqrt{5} \cdot \sqrt{6\sqrt{3}} + 2\sqrt{6\sqrt{3}}}{8}
\]
После упрощения получаем:
\[
\frac{5\sqrt{12} - 6\sqrt{30} + 2\sqrt{6\sqrt{3}}}{8} = \frac{10\sqrt{3} - 6\sqrt{30} + 2\sqrt{6\sqrt{3}}}{8}
\]
Ответ: \(\frac{10\sqrt{3} - 6\sqrt{30} + 2\sqrt{6\sqrt{3}}}{8}\).
- Вычислите:
\[
\frac{\sqrt{30}}{2\sqrt{3} + \sqrt{5} - 3\sqrt{2}} - \frac{3}{\sqrt{2}}
\]
Решение:
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное:
\[
\frac{\sqrt{30}(2\sqrt{3} + \sqrt{5} + 3\sqrt{2})}{(2\sqrt{3} + \sqrt{5})^2 - (3\sqrt{2})^2} - \frac{3\sqrt{2}}{2}
\]
Вычислим знаменатель:
\[
(2\sqrt{3} + \sqrt{5})^2 - 18 = 12 + 4\sqrt{15} + 5 - 18 = -1 + 4\sqrt{15}
\]
Подставим обратно:
\[
\frac{\sqrt{30}(2\sqrt{3} + \sqrt{5} + 3\sqrt{2})}{-1 + 4\sqrt{15}} - \frac{3\sqrt{2}}{2}
\]
Ответ: \(\frac{\sqrt{30}(2\sqrt{3} + \sqrt{5} + 3\sqrt{2})}{-1 + 4\sqrt{15}} - \frac{3\sqrt{2}}{2}\).
- На сколько процентов надо уменьшить \(y\), чтобы при одновременном уменьшении \(x\) на $52\%$ величина \(\frac{x}{y}\) выросла на $140\%$?
Решение:
Пусть \(x' = 0.48x\), \(y' = ky\). Новое отношение:
\[
\frac{x'}{y'} = \frac{0.48x}{ky} = 2.4 \cdot \frac{x}{y} \Rightarrow \frac{0.48}{k} = 2.4 \Rightarrow k = 0.2
\]
Уменьшение \(y\) на \(80\%\).
Ответ: на 80\%.
- Найдите наибольшее значение функции:
\[
y = \frac{6x^2 + 5x - 4}{4}
\]
Решение:
Функция является параболой с ветвями вверх (коэффициент при \(x^2\) положителен). Наибольшего значения не имеет, стремится к \(+\infty\) при \(x \to \pm\infty\).
Ответ: функция не имеет наибольшего значения.
- Найдите сумму квадратов корней уравнения:
\[
x^2 + 82x + 81 = 0
\]
Решение:
По теореме Виета: \(x_1 + x_2 = -82\), \(x_1x_2 = 81\). Сумма квадратов:
\[
x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = (-82)^2 - 2 \cdot 81 = 6724 - 162 = 6562
\]
Ответ: 6562.
- Решите неравенство:
\[
\frac{3x - 10}{3x^2 - 4x - 4} > 0
\]
Решение:
Найдем корни числителя и знаменателя:
\[
3x - 10 = 0 \Rightarrow x = \frac{10}{3}
\]
\[
3x^2 - 4x - 4 = 0 \Rightarrow x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{6} = \frac{4 \pm 8}{6} \Rightarrow x = 2, \ x = -\frac{2}{3}
\]
Метод интервалов:
\[
x \in \left(-\frac{2}{3}, \frac{10}{3}\right) \cup (2, +\infty)
\]
Ответ: \(x \in \left(-\frac{2}{3}, \frac{10}{3}\right) \cup (2, +\infty)\).
- Найдите площадь равнобедренного треугольника \(ABC\), если высота, опущенная на основание, равна 10, а высота, опущенная на боковую сторону, равна 12.
Решение:
Пусть основание \(BC = 2a\), боковая сторона \(AB = AC = b\). Из высоты на основание:
\[
\sqrt{b^2 - a^2} = 10 \Rightarrow b^2 - a^2 = 100
\]
Высота на боковую сторону:
\[
\frac{2 \cdot \text{площадь}}{b} = 12 \Rightarrow \text{площадь} = 6b
\]
С другой стороны, площадь:
\[
\frac{1}{2} \cdot 2a \cdot 10 = 10a
\]
Приравниваем:
\[
10a = 6b \Rightarrow a = \frac{3b}{5}
\]
Подставляем в первое уравнение:
\[
b^2 - \left(\frac{3b}{5}\right)^2 = 100 \Rightarrow \frac{16b^2}{25} = 100 \Rightarrow b^2 = \frac{2500}{16} \Rightarrow b = \frac{25}{2}
\]
Площадь:
\[
10a = 10 \cdot \frac{3 \cdot 25}{10} = 75
\]
Ответ: 75.
- В арифметической прогрессии известно, что \(a_5 + a_{11} = 15\). Найдите сумму \(a_3 + a_7 + a_9 + a_{13}\).
Решение:
Используем свойство арифметической прогрессии:
\[
a_5 + a_{11} = 2a_8 = 15 \Rightarrow a_8 = 7.5
\]
Искомая сумма:
\[
a_3 + a_7 + a_9 + a_{13} = (a_3 + a_{13}) + (a_7 + a_9) = 2a_8 + 2a_8 = 4a_8 = 30
\]
Ответ: 30.
- Из пункта \(A\) в пункт \(B\) выехал велосипедист, который приедет через 2 часа. Одновременно с ним из \(B\) в \(A\) вышел пешеход, который придёт через 6 часов. Через какое время они встретятся?
Решение:
Пусть расстояние \(S\). Скорость велосипедиста \(\frac{S}{2}\), пешехода \(\frac{S}{6}\). Совместная скорость:
\[
\frac{S}{2} + \frac{S}{6} = \frac{2S}{3}
\]
Время встречи:
\[
\frac{S}{\frac{2S}{3}} = \frac{3}{2} \text{ часа} = 1.5 \text{ часа}
\]
Ответ: 1.5 часа.
- Взяли 5 листов бумаги. Один из них разрезали на 5 частей, один из полученных снова на 5, и так далее. Какое число листов можно получить? Решение: Каждое разрезание увеличивает количество листов на 4. После \(n\) разрезов: \[ 5 + 4n \] Ответ: числа вида \(5 + 4n\), где \(n \in \mathbb{N}\).
Материалы школы Юайти