Лицей НИУ ВШЭ из 9 в 10 класс 2010 год вариант 2

ЛИЦЕЙ НИУ ВШЭ

2010 год

Вариант 2

1. Упростить выражение: \[ \left( \frac{a + b}{2} \cdot \left( \frac{a - b + 1}{2} \right)^2 \right) \div \left( \frac{16}{81} - 4 \right) \]
   
   
2. Расстояние между своим домиком и домиком Пятачка Винни-Пух проходит на 4 минуты медленнее, чем Пятачок. Сколько времени тратит на дорогу Винни, если его скорость в 3 раза меньше, чем скорость друга?
   
   
3. Построить график функции: \[ y = \frac{2x - 4}{2x - 22} \]
   
   
4. В треугольнике \(ABC\) точка \(P\) — середина стороны \(AB\). Отрезок \(PC\) пересекается с медианой \(BN\) в точке \(S\). Найти площадь треугольника \(BPS\), если площадь треугольника \(ABC\) равна 12.
   
   
5. Найти все значения переменной \(x\), удовлетворяющие хотя бы одному неравенству: \[ \frac{x - 2}{9 - x} \leq 0, \quad 3 - x \leq 0 \]
   
   
6. Решить уравнение: \[ (x - 2)(x - 3) = 0 \]
   
   
7. При каких значениях параметра \(a\) система уравнений \[ \begin{cases} x - ay = 2 \\ ax - y = 3 \end{cases} \] имеет ровно одно решение?

Решения задач

1. Упростить выражение: \[ \left( \frac{a + b}{2} \cdot \left( \frac{a - b + 1}{2} \right)^2 \right) \div \left( \frac{16}{81} - 4 \right) \] Решение: \[ \frac{16}{81} - 4 = \frac{16}{81} - \frac{324}{81} = -\frac{308}{81} \] Числитель преобразуем: \[ \frac{a + b}{2} \cdot \frac{(a - b + 1)^2}{4} = \frac{(a + b)(a - b + 1)^2}{8} \] Деление на дробь заменяем умножением: \[ \frac{(a + b)(a - b + 1)^2}{8} \div \left(-\frac{308}{81}\right) = -\frac{81(a + b)(a - b + 1)^2}{2464} \] Ответ: \(-\dfrac{81(a + b)(a - b + 1)^2}{2464}\).
   
   
2. Расстояние между своим домиком и домиком Пятачка Винни-Пух проходит на 4 минуты медленнее, чем Пятачок. Сколько времени тратит на дорогу Винни, если его скорость в 3 раза меньше, чем скорость друга?
   Решение: Пусть скорость Пятачка \(v\) км/мин, тогда скорость Винни \(\frac{v}{3}\). Обозначим расстояние \(S\). Время Пятачка: \(\frac{S}{v}\), время Винни: \(\frac{S}{\frac{v}{3}} = \frac{3S}{v}\). Разница: \[ \frac{3S}{v} - \frac{S}{v} = \frac{2S}{v} = 4 \Rightarrow \frac{S}{v} = 2 \] Время Винни: \(3 \cdot 2 = 6\) минут.
   Ответ: 6 минут.
   
   
3. Построить график функции: \[ y = \frac{2x - 4}{2x - 22} \] Решение: Упростим выражение: \[ y = \frac{2(x - 2)}{2(x - 11)} = \frac{x - 2}{x - 11} = 1 + \frac{9}{x - 11} \] График — гипербола с вертикальной асимптотой \(x = 11\) и горизонтальной асимптотой \(y = 1\). Смещена на 11 единиц вправо и на 1 вверх.
   Ответ: гипербола \(y = 1 + \dfrac{9}{x - 11}\).
   
   
4. В треугольнике \(ABC\) точка \(P\) — середина стороны \(AB\). Отрезок \(PC\) пересекается с медианой \(BN\) в точке \(S\). Найти площадь треугольника \(BPS\), если площадь треугольника \(ABC\) равна 12.
   Решение: Медиана \(BN\) делит треугольник на две равные части (площадь по 6). Точка \(S\) делит медиану \(BN\) в отношении 2:1. Площадь треугольника \(BPS\) составляет \(\frac{1}{3}\) от площади \(ABP\) (которая равна 6): \[ S_{BPS} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 12 = 2 \] Ответ: 2.
   
   
5. Найти все значения переменной \(x\), удовлетворяющие хотя бы одному неравенству: \[ \frac{x - 2}{9 - x} \leq 0, \quad 3 - x \leq 0 \] Решение:
   • Первое неравенство: \(\frac{x - 2}{9 - x} \leq 0\). Решение: \(x \leq 2\) или \(x > 9\).
   • Второе неравенство: \(3 - x \leq 0 \Rightarrow x \geq 3\).
   Объединение решений: \(x \leq 2\) или \(x \geq 3\) (исключая \(x = 9\)).
   Ответ: \(x \in (-\infty; 2] \cup [3; 9) \cup (9; +\infty)\).
   
   
6. Решить уравнение: \[ (x - 2)(x - 3) = 0 \] Решение: Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю: \[ x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2; \quad x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3 \] Ответ: 2 и 3.
   
   
7. При каких значениях параметра \(a\) система уравнений \[ \begin{cases} x - ay = 2 \\ ax - y = 3 \end{cases} \] имеет ровно одно решение?
   Решение: Система имеет единственное решение, если определитель матрицы коэффициентов не равен нулю: \[ \begin{vmatrix} 1 & -a \\ a & -1 \end{vmatrix} = -1 + a^2 \neq 0 \Rightarrow a^2 \neq 1 \Rightarrow a \neq \pm1 \] Ответ: все действительные числа, кроме \(a = 1\) и \(a = -1\).